MCD de prueba por contradicción?

Question

$a, b$ son relativamente primos y $a > b$. Demostrar que $\text{gcd}(a-b,a+b) = 1 \,\,\text{or}\,\, 2$.

Intento: Desde $a, b$ son relativamente primos, sé que $\text{gcd}(a,b) = 1$. También, saber que $ax + by = 1 \,\,\text{for some}\,\, x,y \in \mathbb{Z}$. No estás seguro de dónde ir de allí. Supongo que una prueba por contradicción con la suposición de que $\gcd(a-b,a+b) \neq 1 \,\,\text{or}\,\, 2$. Gracias.

Answer 1

Deje $c$ ser cualquier divisor común de a$a+b$$a-b$. A continuación, $c$ divide $(a+b)+(a-b)$$(a+b)-(a-b)$. Por lo $c$ divide $2a$$2b$.

Tenga en cuenta que no son enteros $x$ $y$ tal que $ax+by=1$ y, por tanto,$(2a)x+(2b)y=2$. De ello se desprende que $c$ divide $2$. Por lo tanto no hay ningún número mayor que $2$ puede dividir tanto $a+b$$a-b$.

La integridad, usted debe mostrar que cada una de las posibilidades de $\gcd(a+b,a-b)=1$ $\gcd(a+b,a-b)=2$ puede suceder.

Answer 2

Sugerencia $\,\ {\rm mod}\ a\!-\!b\!:\,\ a\equiv b\,\Rightarrow\, \color{#0a0}{a\!+\!b\equiv 2b}\,$ , por lo que, por el Algoritmo de Euclides $\rm\color{#c00}{(EA)}$

$\qquad (a\!-\!b,\,\color{#0a0}{a\!+\!b})\overset{\rm\color{#c00}{EA}} = (a\!-\!b,\,\color{#0a0}{2b}) = (a\!-\!b,\,2),\ $ $\ (a\!-\!b,b)\overset{\rm\color{#c00}{EA}}= (a,b)=1,\,$ y Euclides del Lexema.

Aquí $\rm\color{#c00}{EA}$ $\ (m,n)\, =\, (m,n')\ $ si $\ n'\!\equiv n\pmod m\,\ $ [= descenso paso del Algoritmo de Euclides].

Answer 3

$\begin{eqnarray}{\bf Hint}\ \ \text{determinant of}\,\ \left[ \begin{array}{cr} 1 &\!\! -1\\ 1 & 1\end{array}\right] \left[ \begin{array}{cc} a & x\\ b & y\end{array}\right] &=& \left[ \begin{array}{cc} a\!-\!b &\! x\!-\!y\\ a\!+\!b &\! x\!+\!y\end{array}\right] \\ \Rightarrow\ \ \ 2\!\!\!\!\!\! \smash[b]{\underbrace{(ay - bx)}_{\quad\ \ \grande =\,1\ {\rm por\ Bezout}}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! &=& (un\!-\!b)(x\!+\!y)-(a\!+b\!)(x\!-\!y)\quad {\bf QED}\\ \\ \end{eqnarray}$

Comentario $\ $ El método generaliza a cualquier lineal mapa de $\ (m,n)\mapsto (m,n)A = (am\!+\!bn,cm\!+\!dn)$

$\begin{eqnarray}\phantom{\bf Hint}\ \ \text{determinant of}\,\ \left[ \begin{array}{cr} a&\!\! b\\ c & d\end{array}\right] \left[ \begin{array}{cc} m & x\\ n & y\end{array}\right] &=& \left[ \begin{array}{cc} am\!+\!bn &\! ax\!+b\!y\\ cm\!+\!dn &\! cx\!+\!dy\end{array}\right] \\ \Rightarrow\ \ D\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \smash[b]{\underbrace{(my - nx)}_{\quad\ \ \grande =\,(m,n)\ {\rm por\ Bezout}}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! &=& (am\!+\!bn)(cx\!+d\!y)-(cm\!+\!dn)(ax\!+\!por)\\ \\ \end{eqnarray}$

Por lo tanto podemos deducir que $\ (am\!+\!bn,\,cm\!+\!dn)\mid D\ (m,n)\ $ desde que se divide la rhs así también el lado izquierdo. Alternativamente, también puede ser deducido utilizando la Regla de Cramer, por ejemplo, ver a esta respuesta. Observe que la pregunta es simplemente el caso especial cuando el determinante $\,D = 2,\,$ y el mcd $\,(m,n) = 1.\,$

Answer 4

$ax+by = 1$ $2ax+2by = 2$ .

Ahora uso $2a=(a+b)+(a-b)$ $2b=(a+b)-(a-b)$ y reorganizar para llegar a una solución a $(a+b)X + (a-b)Y = 2$.

Por lo $\gcd(a+b,a-b)\mid 2$.