Aplicación de la transformada de Fourier de la serie

Question

He visto el siguiente problema en una prueba, y hay algunos primaria soluciones. Tengo curiosidad de saber si hay una solución con series de Fourier.

Aquí está:

Deje $(a_n),(b_n)$ dos secuencias de reales tales que $$ \lim_{n \to \infty} a_n \cos(nx)+b_n \sin(nx)=0,\ \forall x \in (c,d) $$ where $c<d$ are two real numbers. Prove that $ a_n,b_n \to 0$.

Estoy interesado en una solución con series de Fourier. Gracias.

Answer 1

Después de mi intento fallido de ayer aquí es un (esperemos correcta) la prueba de que evita la teoría de la medida.

Deje $A_n:=\sqrt{a_n^2+b_n^2}$ ser la amplitud de $f_n(x):=a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)$. Tenemos que probar que $\lim_{n\to\infty} A_n=0$.

Si este no es el caso, entonces hay un $\epsilon>0$ tal que $A_n\geq 2\epsilon$ para infinidad de $n$. Vamos a construir una selección de la secuencia de $n_j \to\ \infty$ $(j\to\infty)$ y una secuencia anidada de intervalos cerrados $I_j\subset\ ]c,d[\ $ $\ (j\geq1)$ de positivo longitud de $|I_j|$, de tal manera que $$f_{n_j}(x)\ \geq\ \epsilon\quad(x\in I_j)\qquad\qquad(*)$$ para todos los $j\geq1$. Dadas estas secuencias no hay un punto de $\xi$ que pertenece a todos los $I_j$, y para este punto de $\xi$ tenemos $f_{n_j}(\xi)\geq\epsilon$ todos los $j\geq1$. Esto violaría el supuesto de $\lim_{n\to\infty}f_n(\xi)=0$.

Para inicializar las dos secuencias de $(n_j)_{j\geq1}$ $(I_j)_{j\geq1}$ ponemos $n_0:=0$$I_0:=\ ]c,d[\ $. Ahora la recursividad paso: Dado $n_{j-1}$ $I_{j-1}$ (positiva de longitud) para algunos $j\geq1$, hay un $n_j>n_{j-1}$ tal que $${\rm (a)}\quad {2\pi\over n_j}<|I_{j-1}|\ ,\qquad{\rm (b)}\quad A_{n_j}\geq2\epsilon\ .$$ De ello se desprende que $I_{j-1}$ contiene un período completo de $f_{n_j}$; por lo tanto, existe un intervalo cerrado $I_j\subset I_{j-1}$ de positivos longitud tal que $(*)$ mantiene.

Answer 2

Creo que va a ser difícil encontrar una serie de Fourier la prueba de que no es totalmente artificial, ya que no hay ninguna serie en el problema. Pero no puedo pensar en un verdadero análisis de la prueba de que no es elemental.

Deje $f_n(x) = a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx)$. A continuación, hay algunos $\alpha_n$ tal que $f_n(x) = (a_n^2 + b_n^2)\cos(nx - \alpha_n)$. Si $n$ es lo suficientemente grande, todo un periodo de $f_n(x)$ estará contenido en $(c,d)$. De manera que la medida del conjunto de $x$ $(c,d)$ que $|f_n(x)| > {1 \over 100}(a_n^2 + b_n^2)$ al menos ${1 \over 2}(d - c)$ si $n$ es lo suficientemente grande.

Pero una secuencia de funciones que converge pointwise en un intervalo converge en la medida para el mismo límite. Así que, dado que $\epsilon > 0$, es decir, lo suficientemente grande como $n$ también tendría que tener la medida de $\{x \in (c,d): |f_n(x)| > \epsilon\}$ tendría que ser menos de ${1 \over 2}(d - c)$. La única manera que esto es compatible con la anterior, es que para lo suficientemente grande como $n$, usted tiene ${1 \over 100}(a_n^2 + b_n^2) < \epsilon$. Y esto es lo mismo que decir que $\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \lim_{n \rightarrow \infty} b_n = 0$.

Answer 3

Este argumento se utiliza la transformada de Fourier de la serie, pero con la suposición de que $(a_n,b_n)$ es limitada (no lo puedo encontrar una manera de probar esto sin de alguna manera demostrar que converge a $0$. Cualquier persona es libre de proponer una solución).

Es inofensivo para suponer que $(c,d)=\mathbb{R}$. Desde $(f_n)$ converge pointwise a cero y es acotado, el Teorema de Convergencia Dominada muestra que converge en $L^1(S^1)$-norma. Puesto que la transformada de Fourier $L^1(S^1) \rightarrow L^\infty(\mathbb{Z})$ es continua, sus coeficientes de Fourier ir a $0$.

Answer 4

Atar para demostrar que las secuencias de $a_n$ $b_n$ están delimitadas (para llenar el vacío en el user10676 del enfoque), el siguiente argumento - el uso de categoría de Baire - activado:

Deje $\epsilon > 0$ ser dado. Definir $F_N = \{x\in (c,d)\;|\;|f_n(x)|\le\epsilon \quad \forall n \ge N \}$. Tenemos

$$(c,d)=\bigcup_{N \in \mathbb N} F_N$$ por pointwise convergencia y, además, los conjuntos de $F_N$ están cerrados por la continuidad de las funciones $f_n$.

Por la categoría de Baire teorema debe ser $N_0$ tal que $F_{N_0}$ tiene interior no vacío. Elija dos puntos de $s,t$ tal que $(s,t)\subset F_{N_0}$. Tenga en cuenta que, a continuación, en particular, tenemos que $(s,t) \subset F_N$ todos los $N>N_0$.

Suponiendo $N_0$ a ser lo suficientemente grande (más grande que es no hacer daño), las congruencias \begin{eqnarray*} Nx &\equiv& 0 \pmod{2\pi}\\ Ny &\equiv& \frac\pi 2 \pmod{2\pi} \end{eqnarray*}

tienen soluciones en $(s,t)$ todos los $N>N_0$. Pero entonces para cualquier $N>N_0$, la elección de $x,y$ por encima de

\begin{eqnarray*} |a_N| &=& |a_N\cos(Nx) + b_N\sin(Nx)| \le \epsilon \\ |b_N| &=& |a_N\cos(Ny) + b_N\sin(Ny)| \le \epsilon \end{eqnarray*}

debido a $x,y\in (s,t)\subset F_{N_0}$.

Esto demuestra que las secuencias de $a_n$ $b_n$ convergen.