¿Qué es un ejemplo de un mapa de $(0,1) \to \mathbb{R}$ que no es continua? Es incluso posible que exista uno? ¿Qué pasa en las dimensiones superiores? El ejemplo más sencillo que he sido capaz de pensar es en el mapa de $e^{1/z}$ $\mathbb{C}$ $\mathbb{C}$(llenado en ser $0$$0$). No debe ser un simple ejemplo, el uso de la costumbre de la topología Euclidiana, ¿verdad?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
DiGi
Puntos
1925
Ejemplos explícitos son moderadamente difícil de construir, pero no es demasiado difícil llegar con los no-ejemplos constructivos; este es uno de esos.
Para $x,y\in\mathbb{R}$ definir $x\sim y$ fib $x-y\in \mathbb{Q}$; es fácil comprobar que $\sim$ es una relación de equivalencia en $\mathbb{R}$. Para cualquier $x\in\mathbb{R}$, $[x] = \{x+q:q\in\mathbb{Q}\}$, donde $[x]$ $\sim$- clase de equivalencia de a $x$. En particular, cada clase de equivalencia es contable. Para cualquier infinita cardenal $\kappa$, la unión de $\kappa$ pares distintos countably conjuntos infinitos tiene cardinalidad $\kappa$, por lo que debe ser exactamente el número de clases de equivalencia, ya que hay números reales. Deje $h$ ser un bijection de $\mathbb{R}/\sim$, el conjunto de clases de equivalencia, a $\mathbb{R}$. Por último, defina $$f:(0,1)\to\mathbb{R}:x\mapsto h([x])\;.$$
Me dicen que si $V$ es no-vacío abierto subconjunto de $(0,1)$, $f[V]=\mathbb{R}$, que por supuesto se asegura de que $f$ está abierto. Para ver esto, basta observar que cada intervalo abierto en $(0,1)$ cruza cada clase de equivalencia. (Debe estar sin ningún problema en absoluto para ver que $f$ es muy discontinua!)
