¿Es un cociente de un grupo completo siempre completo?

Question

Sea $\: \langle G,\cdot,\mathcal{T}\hspace{0.01 in} \rangle \:$ un $\big($$\text{T}_0$$\big)$ grupo topológico. $\;\;$ Sea $H$ un subgrupo normal cerrado de $G$.

Definimos $\;\; \mathbf{G} \: = \: \langle G,\cdot,\mathcal{T}\hspace{0.01 in} \rangle \;\;$, $\;\;$ y suponemos que $\mathbf{G}$ es completo con respecto a la uniformidad de dos lados.

¿Se deduce entonces que $\: \mathbf{G}/H \:$ es completo? $\;\;$ (con respecto a su uniformidad de dos lados)

Si no, ¿qué ocurre si también se asume que $\mathbf{G}$ es abeliano?

Answer 1

No.

En la dirección positiva, Bourbaki demuestra en Topologie Générale, Chapitre IX, §9, Proposition 4 lo siguiente:

Sea $G$ un grupo topológico metrizable. Si $H$ es un subgrupo normal cerrado, entonces $G/H$ es metrizable. Si $G$ es completo (en una de las uniformidades unilaterales) entonces también lo es $G/H.

Esto implica una respuesta positiva para los grupos abelianos metrizables, ya que las uniformidades izquierda, derecha y de dos lados coinciden.

Por otro lado, en Espaces Vectoriels Topologiques, Chapitre IV, §4, Exercices 9 et 10, se da entre otras cosas una construcción (algo complicada) de un espacio vectorial topológico completo cuyo cociente por un subespacio cerrado no es completo. La estructura lineal no es importante para las consideraciones topológicas/uniformes, por lo que esto también se aplica a grupos abelianos topológicos.

Aún peor: Susanne Dierolf demostró en Über Quotienten vollständiger topologischer Vektorräume, Manuscripta Mathematica 17, Nr 1 (1975), 73–77 que todo espacio vectorial topológico surge como un cociente de un espacio vectorial topológico completo y de Hausdorff.