Grado de separación campo de $x^6-3$ $\mathbb{Q}((-3)^{1/2})$ y $\mathbb{F}_5$

Question

Estoy tratando de encontrar el grado de cuanto a partir de este polinomio sobre estos dos campos. Para el grado $\mathbb{Q}((-3)^{1/2})$ tengo 3. Estoy bastante seguro de que esto es correcto. $\mathbb{F}_5$ No estoy tan seguro si. Supongo que estoy intimidado por los característicos campos de p. Aquí están mis pensamientos tan lejos: en $\mathbb{F}_5, x^6-3=x*x^5-3=x^2-3$. Creo que este polinomio es irreducible en $\mathbb{F}_5$ que el grado 2. Sin embargo no estoy seguro cómo demostrarlo.

Cualquier ayuda sería mucho apreció.

Gracias

Answer 1

El finito campos son a menudo más fáciles de tratar en este tipo de preguntas. Una propiedad útil de los campos finitos es que todos los no-cero de los elementos son las raíces de la unidad. El campo $GF(5^m)$ contiene todas las raíces de la unidad de la orden de cualquier factor de $5^m-1$. Esto es debido a que el grupo multiplicativo es cíclico. Otro hecho clave a recordar es que un determinado campo finito tiene sólo uno (hasta isomorfismo) la extensión de cualquier (finito) de grado.

Me alusión a dos soluciones mediante el uso de estos dos hechos. Usted es bienvenido para ampliar cualquiera de ellos o ambos a una solución completa. Dependiendo de cómo se familiarice con estas propiedades (yo no puedo decir, porque depende mucho de las propiedades básicas de los limitados campos que han cubierto en este punto).

Una solución a este problema utilizando el primer hecho sería el inicio de la siguiente. Aquí podemos ver que $3^2\equiv -1 \pmod 5$$3^4\equiv 1\pmod 5$, lo $3$ es una raíz primitiva de la unidad de la orden de $4$. Por lo tanto, cualquier sexto raíz de $3$ en cualquier extensión de $F_5$ es una raíz de la unidad de la orden de $n$ donde $n$ es un factor de $24$. Por lo tanto, todos los ceros de $x^3-6$ están en un campo que contenga el $24^{th}$ raíces de la unidad, que es... Una pregunta que queda es: ¿podría la división de campo de ser un adecuado subcampo del campo?

Una solución mediante el segundo hecho es buscar factorizations de $x^6-3$$F_5$. Nos damos cuenta de que $3=8=2^3$$F_5$, por lo que $$ x^6-3=(x^2)^3-2^3=(x^2-2)(x^4+2x^2+4). $$ El factor de $x^2-2$ es fácil de tratar. El segundo factor es el más complicado (que es por qué ligeramente prefiero la primera solución). Se puede escribir en $F_5[x]$ $$ x^4+2x^2+4=x^4+7x^2+9=(x^4+6x^2+9)+x^2=(x^2+3)^2-4x^2 $$ una diferencia de dos cuadrados, lo que conduce a una factorización $$ x^6-3=(x^2-2)(x^2-2x+3)(x^2+2x+3). $$ Pero esto es más que un poco ad hoc. De todos modos, se puede recoger a partir de aquí.

Una tercera posibilidad (insinuada por Dylan Moreland) sería la de combinar estos enfoques, y determine el menor extensión del campo de $F_5$ que contiene toda la sexta raíces de la unidad y una de las raíces de $x^6-3$. Aquí me gustaría utilizar un cero a la fácil factor de $x^2-2$.

Answer 2

Las raíces de $x^6-3$ sobre los racionales son lo números $\rho^m\root6\of3$ donde $\rho$ es una primitiva raíz 6 complejo de la unidad y $m=0,1,\dots,5$, por lo que el campo división puede escribirse $K={\bf Q}(\rho,\root6\of3)$. Ahora ya tienes una torre de campos ${\bf Q}\subset{\bf Q}(\rho)\subset K$. Usted debe ser capaz de demostrar que es el ${\bf Q}(\rho)$ ${\bf Q}(\sqrt{-3})$, y creo que encontrarás que tienes la respuesta equivocada para la primera pregunta.