Para mostrar que $\langle 13 \rangle$ es un primer ideal en $D= \mathbb{Z[\sqrt{-5}]}$, yo podía mostrar que $13$ es un elemento irreducible de $D$ $D$ no es un U.F.D, no es de mucho uso que supongo. Cómo puedo probar esto.
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MooS
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Lubin
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La pregunta puede ser contestada con la reciprocidad cuadrática.
Por lo general, en una ecuación cuadrática campo $\Bbb Q(\sqrt n\,)$, racional prime $p$ puede comportarse de tres maneras diferentes: (1) $(p)=\mathfrak p$. es decir, $p$ permanece en el primer; (2) $(p)=\mathfrak p_1\mathfrak p_2$, es decir, $p$ se divide en dos conjugada de los números primos; o (3) $(p)=\mathfrak p^2$, $p$ ramifies. En nuestro ejemplo, (3) no sucede de la 'causa' $2$ $5$ son la única ramificada de los números primos de $\Bbb Q(\sqrt{-5}\,)$. Así que todo se reduce a una decisión entre (1)y (2).
Usted ve que el caso (2) sucede exactamente cuando $n$, $-5$ en nuestro caso, es un cuadrado modulo $p$, es decir, cuando el cuadrática símbolo $\left(\frac n p\right)=1$, es decir, si $\left(\frac{-5}{13}\right)=1$ en nuestro caso.
Pero $\left(\frac{-5}{13}\right)=\left(\frac8{13}\right)=\left(\frac2{13}\right)$, que es igual a $-1$ porque $\left(\frac2p\right)=1$ si y sólo si $p\equiv\pm1\pmod8$.
El resultado de todo esto es que $-5$ no es un cuadrado modulo $13$, lo $13$ no dividir, es decir, sigue siendo el primer en $\Bbb Q(\sqrt{-5}\,)$.
Evan Trimboli
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Esta es una pista demasiado largo para un comentario.
Para mostrar que $\langle 13 \rangle$ es un alojamiento ideal, usted necesita demostrar que es un ideal maximal, que el único ideal que si bien contiene es el conjunto del anillo en sí. Pero si no es el primer ideal, entonces usted puede encontrar contenidas correctamente en otro ideal que no es el todo el anillo.
Se parece mucho a la de un director ideal de dominio (PID), por ejemplo, $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$, pero la única factorización ofrece una cuidada acceso directo: si $x$, no el 0 ni el de la unidad, es irreducible, entonces $\langle x \rangle$ es un alojamiento ideal. Números primos y irreducibles son los mismos cuando no es única factorización, así que si $p$ es irreductible e $p|ab$, entonces al menos uno de estos debe ser cierto: $p|a$ o $p|b$.
Que el acceso directo no está disponible en $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$. Por ejemplo, 3 es una irreductible número en este dominio, sino $\langle 3 \rangle$ no es un alojamiento ideal. Su norma es de 9, y vemos que $9 = 3^2 = (2 - \sqrt{-5})(2 + \sqrt{-5})$, pero $3 \nmid (2 \pm \sqrt{-5})$. Por lo $\langle 3 \rangle$ debe estar contenida dentro de un ideal que también contiene $\langle 2 - \sqrt{-5} \rangle$$\langle 2 + \sqrt{-5} \rangle$. No sé lo que es ideal, pero estoy bastante seguro de que no todo el anillo, y además sospecho que esto podría ser un ejercicio en su libro. También existe la mucho más famosa $6 = 2 \times 3 = (1 - \sqrt{-5})(1 + \sqrt{-5})$.
Si $\langle 13 \rangle$ no es un alojamiento ideal, entonces no existen los ideales de la $\mathfrak{a}$ $\mathfrak{b}$ tal que $\mathfrak{a} \mathfrak{b} = \langle 13 \rangle$. Desde $N(\mathfrak{a}) N(\mathfrak{b}) = 169$, podemos deducir $N(\mathfrak{a}) = 13$. Yada, yada, yada, yada, yada, dibujar una contradicción acerca de $N(\mathfrak{a})$.
EDIT: parece Que me he saltado a una conclusión errónea sobre lo ideales que contienen a $\langle 3 \rangle$. Pero mi punto de stands: el generador del ideal de ser irreductible, no significa automáticamente que el ideal es principal.
