Cómo resolver la suma de la serie $a^{i}(x+i)$% #% siendo de $i$ $1$ #%

Question

Tengo las siguientes series y soy incapaz de entender a qué serie pertenece a y cómo solucionarlo

$a(x+1)+a^{2}(x+2)+…+a^{N}(x+N)$

Sobre la serie es una generalización de mi serie actual

$\dfrac{1}{2}(x+1)+\dfrac{1}{4}(x+2) +\cdots +\dfrac{1}{2^{N}}(x+N)$

Answer 1

Sugerencia:

Tenga en cuenta que $$\begin{align} (1-a)\sum{k=1}^na^k &=\sum{k=1}^na^k-\sum{k=1}^na^{k+1}\ &=\sum{k=1}^na^k-\sum{k=2}^{n+1}a^k\ &=a-a^{n+1}\tag{1} \end {alinee el} por tanto $$, $$ \sum{k=1}^na^k=\frac{a-a^{n+1}}{1-a}\tag{2} $$ igualmente tenga en cuenta que $$\begin{align} (1-a)\sum{k=1}^nka^k &=\sum{k=1}^nka^k-\sum{k=1}^nka^{k+1}\ &=\sum{k=1}^nka^k-\sum{k=2}^{n+1}(k-1)a^k\ &=\sum{k=1}^na^k-na^{n+1}\ &=\frac{a-a^{n+1}}{1-a}-na^{n+1}\ &=\frac{a-(n+1)a^{n+1}+na^{n+2}}{1-a}\tag{3} \end {alinee el} por tanto $$, $$ \sum_{k=1}^nka^k=\frac{a-(n+1)a^{n+1}+na^{n+2}}{(1-a)^2}\tag{4} $$ fórmulas $(2)$ y $(4)$ deben ayudar.

Answer 2

Podemos escribir la serie como

$$ \sum_{k=1}^{N} (x+k)a^k = x\sum_{k=1}^{N} {a^k}+ \sum_{k=1}^{N} {k}{a^k} \longrightarrow (1). $$

Usted puede utilizar la identidad

$$ \sum_{k=1}^{N} t^k = \frac{t^{N+1}-t}{t-1} \longrightarrow (*)$$

la suma de la serie en $(1)$.

Añadido: El primero de la serie en $(1)$ es sencillo acaba de sustituir a $t=a$ $(*)$

$$ x\sum_{k=1}^{N} {a^k} = x\frac{a^{N+1}-a}{a-1} .$$

Para el segundo de la serie que acaba de necesidad de diferenciar $(*)$

$$ \sum_{k=1}^{N} kt^{k-1} = \frac{d}{dt}\frac{t^{N+1}-t}{t-1}. $$

Multiplicando la ecuación anterior por $t$ rendimientos

$$ \sum_{k=1}^{N} kt^{k} = t\frac{d}{dt}\frac{t^{N+1}-t}{t-1}. $$

Es su trabajo para hacer la diferenciación y, a continuación, sustituya $t=a$.

Answer 3

Leer todas las cantidades como suma de $0$ $n$

Usando el % de identidad $\sum_k a^k=\frac{1-a^{N+1}}{1-a}$podemos calcular $\sum_k ka^k$

$\sum_k (k+1)a^k=1+a+a^2+...+a^N+a+a^2+....+a^N+a^2+a^3+...+a^N+...+a^N=\frac{1-a^{N+1}}{1-a}+a\frac{1-a^{N}}{1-a}+a^2\frac{1-a^{N-1}}{1-a}+....a^N\frac{1-a}{1-a}=\frac{1+a+a^2+...+a^N - Na^{N+1}}{1-a}=\frac{\frac{1-a^{N+1}}{1-a}-Na^{N+1}}{1-a}$

Así $\sum_k ka^k=\sum_k (k+1)a^k-\sum_k a^k=\frac{\frac{1-a^{N+1}}{1-a}-Na^{N+1}-(1-a^{N+1})}{1-a}=\frac{1-Na^{N+1}+(N-1)a^{N+2}}{(1-a)^2}-\frac{1}{1-a}$