Condición necesaria para que una integral incorrecta converja

Question

Estoy trabajando en este problema desde un examen anterior:

Permita que$f:[0,\infty)\rightarrow\mathbb R$ sea una función continua, no negativa y no creciente de manera que la integral incorrecta$\int_0^\infty (f(x)/\sqrt{x})\ dx$ converja. Muestra esa $\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)\sqrt x=0$. Además, compruebe que$0<\forall \epsilon<1$,$$\lim_{x\rightarrow\infty}\int_{\epsilon x}^x\frac{f(y)}{\sqrt{x-y}}dy = 0.$ $

Intenté vincular el orden de crecimiento de$f$ para mostrar la primera afirmación, pero fue en vano.

Le agradecería si pudiera proporcionar una pista (no necesariamente una prueba completa).

Answer 1

Aquí hay algunas ideas que pueden ayudar:

Si$f(b)\sqrt{b}\ge\varepsilon$, entonces$f(x)\ge\varepsilon/\sqrt{b}$ para todos$x\le b$.

La suposición en la integral implica que$$\lim_{b\to\infty}\int_{b/2}^b\frac{f(x)}{\sqrt{x}}\,dx=0.$ $

Answer 2

Intentaré absorber$\sqrt{x}$ en la integral, en el diferencial$dx$, usando la relación$d(x^{3/2})=\frac32\sqrt{x}dx$, y luego usaré el hecho de que la función permanece monótona después del cambio de variable.

Answer 3

Basado en la aceptación de la respuesta, que proporcionan una solución completa para el problema.

La primera proposición se deduce del hecho de que $$ 0 \le \frac{f(x)\sqrt{x}}{2} = \frac{xf(x)}{2\sqrt{x}}\le\int_{x/2}^x\frac{f(\xi)}{\sqrt \xi}d\xi\longrightarrow 0\ (x \longrightarrow \infty). $$ La desigualdad en el derecho de la siguiente manera a partir de la monotonía de $f$ e lo $\frac{f(\xi)}{\sqrt \xi}$.

Siguiente, $$ 0 \le \int_{\epsilon x}^x\frac{f(y)}{\sqrt{x, y}}dy \le f(x)\int\frac{dy}{x-y} = 2f(x)\left[\sqrt{x - y}\right)^{y=\epsilon x}_{y=x} = 2f(x)\sqrt{(1-\epsilon) x} \le 2f((1-\epsilon) x)\sqrt{(1-\epsilon) x} \rightarrow 0\ (x\rightarrow \infty). $$