Una pregunta más sobre la irracionalidad de $x^2+y^2=3$

Question

(Disculpas por una pregunta más sobre el mismo problema)

En la página 79 de Julian Harvil del libro "El Irrationals" él establece para probar (por contradicción) que todos los puntos en el círculo descrito por $x^2+y^2=3$ son irracionales.

Parafraseando a su prueba:

1. Deje $\left(\frac{p}{q},\frac{r}{s}\right)$ ser un punto en el círculo, donde $p,q,r,s$ son todos los números enteros

2. Por lo tanto $(ps)^2 + (qr)^2 = 3(qs)^2$

3. Podemos repetir esto como $a^2 + b^2 = 3c^2$ y sabemos que uno de $a,b$ debe ser impar y el otro aún

4. Por lo $a^2 + b^2 = 4(m^2 + n^2 + n) + 1 = 4N + 1 = 3c^2$

5. Podemos decir que el $c$ podría ser de la forma $4M, 4M + 1, 4M + 2$ o $4M + 3$

   Y aquí es donde me pierdo (esta vez):

6. Esto significa $c^2$ es de la forma $4N, 4N + 1, 4N, 4N + 1$ $3c^2$ debe ser de la forma $4N, 4N + 3, 4N, 4N + 3$

Podría alguien explicar el razonamiento de esta última línea?

Answer 1

Recuerde que la Plaza $c^2$ de un entero $c$ $\equiv 0\pmod 4$ (si es $c$) o $\equiv 1\pmod 8$ (si $c$ es impar); de hecho $1\pmod 4$ $1\pmod 8$ es lo suficientemente bueno, como obtenemos $3c^2\equiv 0\pmod 4$ o $3c^3\equiv 3\pmod 4$, pero definitelys no $3c^3\equiv 1\pmod 4$.