Sabemos que un formulario 1 $\omega$ en un colector $M$ es exacto si y sólo si $\int{\gamma}\omega=0$ para cualquier había cerrado bucle $\gamma$. ¿Cómo puedo probar la generalización siguiente: $\omega$ es una forma exacta de n $S^n$ si y sólo si $\int{S^n}\omega=0$? Una dirección sigue claramente por Stokes, pero no sé cómo generalizar el primer hecho para probar la dirección restante. ¡Gracias!
Respuesta
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Usted necesita demostrar de alguna manera que $H^n_{deRham}(S^n)\cong\mathbb{R}$ (y que el isomorfismo es dado por la integral sobre $S^n$). Una posibilidad es la de inducción y de Mayer-Vietoris secuencia. Aquí hay otro, un poco más geométrica. Si $g:S^n\to S^n$ es una rotación y $\beta\in \Omega^n(S^n)$ $g^*\beta-\beta$ es exacta (ya que si $f_1$ es homotópica a $f_2$ $f_1^*=f_2^*$ en cohomology). Cuando tenemos una media de más de $SO(n)$, podemos ver que cualquier $n$-forma en $S^n$ es cohomologous a un $SO(n)$-invariante $n$-forma. Muchos sólo hay una forma - la forma de volumen $\omega$. Cualquier $n$-forma es, pues, de la forma $d\alpha+c\omega$, y su reclamo de la siguiente manera.
(este argumento muestra que, para encontrar de Rham cohomology de un espacio homogéneo de la conexión de un compacto de Lie del grupo, podemos limitarnos a la sub-complejo de formas invariantes. Si el espacio es simétrica, a continuación, todas las formas invariantes son cerradas, es decir, el cohomology es igual al espacio de invariantes formas.)
