Dejemos que $x$ , $y$ , $n$ sean enteros positivos, donde $n$ y $y$ serán constantes y $x$ una variable. Entonces es trivial que el período de
$x \bmod y$
en $x$ es $y$ ya que la función simplemente cae a cero y vuelve a empezar cuando $x$ llega a $y$ . Ahora, al menos para mí, es mucho menos obvio, lo que el período de
$x^n \bmod y$
en $x$ debería ser. Visualmente (observando los gráficos de la función en diferentes $n$ y $y$ ) los resultados sugieren que el periodo sigue siendo $y$ . ¿Cómo puedo ver eso analíticamente?
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¿Qué significa el periodo?
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Si por periodo te refieres al orden en un grupo entonces te equivocas si te refieres a la multiplicación o a la suma. Por ejemplo, $2+2 \equiv 0 \pmod 4$ y $2 \times 2 \equiv 1 \pmod 3$ Así que $2$ tiene orden $2$ en modulo- $4$ aritmética bajo adición, y orden $2$ en modulo- $3$ aritmética bajo la multiplicación.
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@William: el periodo $p$ es el menor número entero positivo tal que $(x+p)^n \equiv x^n\pmod y$ .
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El OP quiere el período como una función en $x$ no como una función en $n$ .
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Lo siento, no soy un hablante nativo. Me refiero a la época como $2\pi$ para $\sin(x)$ .
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@Fejwin: la palabra clave que quieres buscar es "aritmética modular", en particular el hecho de que la multiplicación es compatible con la toma de restos $\bmod y$ .
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Está buscando el orden de $x^n$ en $\mathbb{Z}_y$ .
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Creo que las funciones en cuestión son $f_1(x)=[x]_y$ y $f_2(x)=[x^n]_y$ . Claramente $f_1$ es periódica con periodo $y$ , como $f_1(x+y)=[x+y]_y=[x]_y=f_1(x)$ para todos $x$ y también si $f_1(x+z)=f_1(x)_y$ para todos $x$ entonces $y$ divide $z$ por lo tanto $z=y$ es el menor número entero positivo con esta propiedad. También se demuestra fácilmente que $f_2(x+y)=[(x+y)^n]_y=[x^n]_y=f_2(x)$ para todos $x$ (¿por qué?). ¿Cuál es el menor positivo $z$ para que $f_2(x+z)=f_2(x)$ para todos $x$ ?