Límite de las funciones de dos variables en $\infty$

Question

¿La igualdad siguiente generalmente tiene?

$$ \lim{x\to\infty, y\to\infty} f (x, y) = \lim{z\to\infty} f (z, z) $$

Si no es así, ¿cuáles son las condiciones necesarias para la ecuación anterior sostener?

Answer 1

Considerar el $f(x,y)=e^{-(x-y)^2}$. Entonces cada uno de los límites iterados es $0$ en infty y obviamente $f(z,z)=1$ % todos $z$.

Para hacer la igualdad mantenga, es necesario modificar $\lim{x \to \infty}\lim{y \to \infty} $ $\lim{x,y \to \infty}$. Entonces, si $f$ tiene un límite en $\infty$ la igualdad $\lim{(x,y) \to \infty}f(x,y)=\lim_{z \to \infty}f(z,z)$ sostiene.