Máximos de la función casi cuadrática.

Question

Considere $f(x) = x^2 - \sqrt{(ax + b\sin(\theta))^2+(b \cos(\theta))^2}$ para algunos $a, b, \theta$ real y positiva.

Entonces: $f'(x) = 2x - \frac{a(ax + b \sin(\theta)}{\sqrt{(ax + b\sin(\theta))^2+(b \cos(\theta))^2}}$

Estoy buscando alguna relación entre $a, b, \theta$ (para el caso de que sea distinto de cero $a, b$ ) tal que $f(x)$ tiene 2 mínimos y 1 máximo, o sólo un mínimo. (Esos son los únicos casos posibles, creo, siéntase libre de demostrar que estoy equivocado).

Por ejemplo, si $\theta = 0$ , entonces para $a^2 > 2b$ tenemos 2 mínimos y un máximo en $x =-\frac{\sqrt{a^4 - 4b^2}}{2a}, 0 , \frac{\sqrt{a^4 - 4b^2}}{2a}$ . Por supuesto, se puede establecer $f'(x)=0$ El término feo se traslada al lado derecho y se eleva al cuadrado en ambos lados, pero no he podido resolver el polinomio de cuarto orden.

Experimentando numéricamente, he descubierto que si fijamos $a,b$ tal que $a^2 > 2b$ y aumentar $\theta$ de cero a $\pi/2$ pasaremos de tener 3 ceros para $f'(x)$ a 1 y de nuevo a 3.

Me interesa más la cantidad de máximos/mínimos, en lugar de su ubicación.

Se agradecerá cualquier ayuda.

Editar: Los experimentos numéricos se hicieron utilizando Newton -Rhapson y la segunda derivada es: $f''(x) = 2 - \frac{(ab\cos(\theta))^2}{((ax + b\sin(\theta))^2+(b \cos(\theta))^2)\sqrt{(ax + b\sin(\theta))^2+(b \cos(\theta))^2}}$

Edición 2: Tratando de resolver $f'(x) = 0$ yelds:

$\alpha x^4 + \beta x^3 + c x^2 + dx +e =0$ con $\alpha = 4a^2$ , $\beta = 8ab\sin(\theta)$ , $c = 4b^2 -a^4$ , $d = -2a^3b\sin(\theta)$ , $e = - a^2b^2\sin^2(\theta)$ . Estoy buscando el número de raíces reales.

Answer 1

HINT

Para analizar las raíces de la derivación, podemos considerar la función

$$g(t)=\dfrac1bf(x)=\dfrac1{2d}t^2-\sqrt{t^2+2st+1},\quad |s|\leq1,\quad d>0,$$ donde $$t=\dfrac {ax}{b},\quad s=\sin\theta,\quad d=\dfrac{a^2}{2b}.$$ Entonces $$g'(t) = \dfrac td - \dfrac{t+s}{\sqrt{t^2+2st+1}} = 0,$$ $$P(t)=t^4+2st^3+t^2-d^2(t+s)^2=0.$$

Para $s=0,$ $$P(t)=t^2(t^2+1-d^2).$$ Si $d\not=1,$ tenemos dos raíces múltiples, lo que no corresponde a la condición.
Si $d=1,$ tenemos una raíz múltiple, lo que corresponde a la condición.

Para $s=\pm1,\ d>0,$ $$P(t)=(t+s)^2(t^2-d^2),\quad g(t)=\dfrac1{2d}t^2-|t+s|,$$ y hay una discontinuidad de la derivada $$\quad g'(-s-0)=-\dfrac1d s+1,\quad g'(-s+0)=-\dfrac1d s-1.$$ Si $s=-1,$ entonces $$g'(1-0) = \dfrac1d+1,\quad g'(1+0)=\dfrac1d-1,$$ por lo que tenemos un mínimo para $0<d\leq1$ y un máximo y dos mínimos para $d>1.$
Si $s=1,$ entonces $$g'(-1-0) = -\dfrac1d+1,\quad g'(-1+0)=-\dfrac1d-1,$$ por lo que tenemos un mínimo para $0<d\leq1$ y un máximo y dos mínimos para $d>1.$

Así, el caso $s=\pm1$ corresponde a la condición.

Considere el caso $0<|s|<1,$ en el que $t=0$ et $t=-s$ no son las raíces de la derivación.

La derivada es la diferencia entre los términos lineales y no lineales, con un término no lineal tiene una asíntota horizontal $+1$ en $t\to +\infty$ et $-1$ en $t\to -\infty$ y un punto de inflexión. Geométricamente Esto significa que para $s\not=0$ para una de las semirrectas horizontales (positiva o negativa) hay exactamente una intersección de términos, y en la otra semirrecta hay 0,1 o 2 intersecciones. Así, la derivada puede tener una, dos o tres raíces, con dos raíces cuando $g'(t)=g''(t)=0,$ o $$\begin{cases} \dfrac td - \dfrac{t+s}{\sqrt{t^2+2st+1}} = 0\\ \dfrac1d-\dfrac{1-s^2}{(t^2+2st+1)^{3/2}}=0,\\ \end{cases}$$ $$\begin{cases} (t^2-d^2)(t+s)^2 + t^2(1-s^2) = 0\\[4pt] \dfrac1d-\dfrac{(1-s^2)t^3}{d^3(t+s)^3}=0, \end{cases}$$ $$\begin{cases} t+s=\sqrt[3]{\dfrac{1-s^2}{d^2}}t\\[4pt] d^2-t^2=(1-s^2)\left(\sqrt[3]{\dfrac{d^2}{1-s^2}}\,\right)^2, \end{cases}$$ $$\begin{cases} t=\dfrac{s}{\sqrt[3]{\dfrac{1-s^2}{d^2}}-1}\\[4pt] \dfrac{s^2}{\left(\sqrt[3]{\dfrac{1-s^2}{d^2}}-1\right)^2} = d^2-d\sqrt[3]{d(1-s^2)}, \end{cases}$$ $$s^2=\left(d^{2/3}-\sqrt[3]{1-s^2}\right)^3,$$ $$d=\left(\sqrt[3]{s^2}+\sqrt[3]{1-s^2}\right)^{3/2}.\qquad(1)$$ Función $(1)$ determina%5E%7B3%2F2%7D,%20-1%3Cs%3C1&rawformassumption=%7B%22C%22,%20%22s%22%7D%20-%3E%20%7B%22Variable%22%7D&rawformassumption=%22%5E%22%20-%3E%20%22Real%22) valores $d$ para $s\in(-1,1)$ cuando existe una raíz múltiple, pero según los gráficos mostrar%5E(3%2F2)-sqrt(t%5E2%2B2*0.5t%2B1)) que el punto estacionario resultante es una silla de montar. Por lo tanto, al considerar el caso, la función en cuestión tiene un mínimo o dos mínimos y un máximo.

Answer 2

Para responder a cuántos extremos $f$ y de qué naturaleza son, nos fijamos en los ceros de la derivada $$ 0 = f'(x) = 2x - \frac{a(ax + b \sin(\theta) )}{\sqrt{(ax + b\sin(\theta))^2+(b \cos(\theta))^2}}$$ Elevando al cuadrado, y despejando los denominadores, se obtiene $$ 4 x^2 [ (ax + b\sin(\theta))^2+(b \cos(\theta))^2 ] = a^2 (ax + b \sin(\theta) )^2 $$

Sin embargo, esto también generará soluciones para el caso con signo negativo $-2x$ : $$ 0 = f'(x) = - 2x - \frac{a(ax + b \sin(\theta) )}{\sqrt{(ax + b\sin(\theta))^2+(b \cos(\theta))^2}} $$ Por lo tanto, debemos exigir adicionalmente (ya que la raíz es positiva) $$ {\rm{sign}}(x) = {\rm{sign}}(ax + b \sin(\theta)) $$

Existen métodos formales para encontrar los ceros de los cuárticos, pero son tediosos de elaborar. Aquí se presenta una solución después de transformaciones lineales que no afectan al número y naturaleza de las soluciones.

Obviamente, dado que el término principal en $f(x)$ es $x^2$ tenemos $f(x) \to \infty$ para $|x| \to \infty$ . Por lo tanto, $f(x)$ debe tener o bien un solo mínimo o bien dos mínimos y un máximo (la afirmación del OP). Los puntos de caballete son posibles.

Sustituyendo $y = \frac ab x + \sin(\theta)$ da $ {\rm{sign}}(y - \sin(\theta)) = {\rm{sign}}(y) $ o $y \notin (0 \ldots \sin(\theta))$ y $$ (y - \sin(\theta))^2 [ y^2+ (\cos(\theta))^2 ] = \frac{a^4}{4 b^2} y^2 $$ Por lo tanto, es evidente que los extremos no dependen de $a$ et $b$ por separado, pero en $q \stackrel{def}{=} \frac{a^4}{4 b^2}$ dando $$ (y - \sin(\theta))^2 [ y^2+ (\cos(\theta))^2 ] = q\; y^2 $$ Veamos primero cuatro casos especiales y excluyámoslos después.

Caso 1: $q = 1$ ; $\theta = k \pi$ ; $k \in \cal{Z}$

Esto da $$ y^2 [ y^2+ 1 ] = y^2 $$ y a su vez sólo un extremo $y^* = 0$ .

Caso 2: $q > 1$ ; $\theta = k \pi$ ; $k \in \cal{Z}$ Esto da $$ y^2 [ y^2+ 1 ] = q \; y^2 $$ y a su vez tres extremos $y^*_1 = 0$ ; $y^*_2 = \sqrt{q-1}$ ; $y^*_3 = -\sqrt{q-1}$ .

Caso 3: $q < 1$ ; $\theta = k \pi$ ; $k \in \cal{Z}$ Esto da $$ y^2 [ y^2+ 1 ] = q \; y^2 $$ y a su vez sólo un extremo $y^*_1 = 0$ ya que las otras dos soluciones del caso 2 no tienen raíces reales.

Caso 4: $\theta = \pi/2 + k \pi$ ; $k \in \cal{Z}$

Esto es más fácil de ver en la formulación original: $$ f(x) = x^2 - \sqrt{(ax + b (-1)^k)^2} =x^2 - ax - b (-1)^k = (x-a/2)^2 - a^2/4 - b (-1)^k $$ que claramente tiene un mínimo.

Caso 5: $\theta \neq k \pi/2 $ ; $k \in \cal{Z}$ . Esto excluye los cuatro casos anteriores y analiza el caso general. Sustituyamos además $y = z\sin(\theta)$ que da $ {\rm{sign}}(z - 1) = {\rm{sign}}(z) $ que es $$ z \notin (0 \ldots 1) $$ y $$ z^2 (\sin(\theta))^2+ (\cos(\theta))^2 = q\; \frac{z^2}{(z - 1)^2} $$ El número de soluciones (es decir, los extremos) puede obtenerse ahora al analizar ambos lados de esta ecuación. Para obtener una visión general, el siguiente gráfico muestra tanto el LHS (parábola, en rojo) para $\theta = \pi/4 $ y el RHS (azul, divergente en $z=1$ ) para $q=6$ :

Demuestra que hay cuatro intersecciones de las curvas. Sin embargo, como $ z \notin \{0,1\} $ se requiere, sólo tres de ellos serán extremos.

Para otros valores de $q$ et $\theta$ algunas tendencias generales se mantienen. Desde que en $z=0$ , LHS= $(\cos(\theta))^2 > 0$ y RHS = 0, las dos intersecciones para $z>0$ siempre permanecerá. Ya que, debido a la singularidad en $z=1$ siempre están en las regiones $ z \in (0 \ldots 1) $ et $z > 1$ sólo este último es un extremo.

Para los extremos con $z<0$ Tenemos tres posibilidades:

1. $q$ grande: dos extremos con $z<0$ como en la imagen
2. las curvas LHS y RHS se tocan: un extremo (punto de silla) con $z<0$
3. las curvas LHS y RHS no se cruzan: ningún extremo con $z<0$

Junto con el único extremo para $z>1$ Esto da tres (caso 1) o uno (caso 3) extremos.

La condición para el caso 2. (toque) puede obtenerse igualando a) el LHS y el RHS y b) sus derivadas. Esta última da

$$ z (\sin(\theta))^2 = - q\; \frac{z}{(z - 1)^3} $$ o $$ z = 1 - \sqrt[3] \frac{q}{(\sin(\theta))^2 } $$ Introducimos esto en a), la ecuación a igualar, que se puede escribir $$ (\sin(\theta))^2+ (\cos(\theta))^2 / z^2 = q\; \frac{1}{(z - 1)^2} $$ Entonces tenemos $$ (\sin(\theta))^2+ \frac{(\cos(\theta))^2}{(1 - \sqrt[3] \frac{q}{(\sin(\theta))^2 })^2} = q\; (\frac{(\sin(\theta))^2 }{q})^{2/3} $$ o $$ (\sin(\theta))^2+ \frac{(\cos(\theta))^2}{(1 - \sqrt[3] \frac{q}{(\sin(\theta))^2 })^2} - q^{1/3}\; (\sin(\theta))^{4/3} = 0 $$

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EDITAR: La solución dada por Yuri Negometyanov se lee, en variables $q, \theta$ :

$$ q = (\sin(\theta))^{2/3} + (\cos(\theta))^{2/3})^3 $$

y se puede demostrar que las dos formulaciones dadas anteriormente y por Yuri son idénticas.

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Las soluciones $\theta, q$ a esta ecuación se determinan con MATLAB y se representan a continuación:

Ahora el $q$ -condición para 2. (punto de silla en $z<0$ ) es conocido, 1. (dos extremos en $z<0$ ) se obtendrá para los mayores $q$ que en la curva y 3. (ningún extremo en $z<0$ ) para los más pequeños $q$ que en la curva. Esto es lo que se requiere para determinar el número de extremos en las regiones.

Para $q<1$ siempre no habrá ningún extremo para $z<0$ es decir, sólo un mínimo en total. Para $q>4$ siempre habrá dos extremos para $z<0$ es decir, sólo tres extremos en total.

Ahora se puede discutir la siguiente afirmación del PO: "Experimentando numéricamente, he encontrado que si fijamos a,b tal que $a^2>2b$ y aumentar $\theta$ de cero a $\pi/2$ pasaremos de tener 3 ceros para $f(x)$ a 1 y de nuevo a 3".

Obviamente el OP ha elegido $q>1$ Sin embargo (no lo dijo) esto también debe haber sido una $q<4$ ya que, como muestra el gráfico, en efecto, el aumento de $\theta$ de cero a $\pi/2$ Se pasa por las regiones de 3 extremos a 1 extremo y luego se vuelve a 3 extremos. Si tuviéramos $q>4$ entonces, aumentando $\theta$ de cero a $\pi/2$ Siempre se permanece en regiones de 3 extremos.

Veamos ahora un ejemplo del comportamiento de la curva original $f(x)$ cerca de los valores "críticos" de $q$ et $\theta$ .

Un ejemplo de punto en la curva anterior es $q = 3.57588, \theta = 0.5$ . Con este valor para $q$ podemos elegir $b = 1/2$ et $a = q^{1/4} = 1.3751$ . Entonces obtenemos un punto de silla de montar, como se muestra aquí:

y con más detalle aquí:

Aumentar $a$ ligeramente a $a = 1.4$ aumenta $q$ y tenemos un máximo y un mínimo adicionales, como se muestra aquí:

Disminución de $a$ ligeramente a $a = 1.35$ disminuye $q$ y no tenemos nada ya que el punto de la silla de montar desaparece, como se muestra aquí: