Estoy tratando de determinar si $$\bigl(x+y)^4(y+z)^4(z+x)^4 - 8x^2y^2z^2\bigl((x+y)^2 + (y+z)^2\bigr)\bigl((y+z)^2 + (z+x) ^2\bigr)\bigl((z+x)^2 + (x+y)^2\bigr) \ge0 $ $
$x,y,z>0$.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
domdetre
Puntos
91
Una forma de ataque es para calcular la suma de cuadrados de la solución numérica a través de semidefinite de programación, es decir, la búsqueda de una positiva semidefinite matriz $Q$ tal que el polinomio $p(x,y,z)$ puede ser escrito como $v^TQv$ donde $v$ es adecuada vector seleccionado de monomials en $x,y,z$.
El siguiente fragmento de código calcula la suma de cuadrados de la solución en MATLAB utilizando el cuadro de herramientas YALMIP. Se supone que tienen un eficiente semidefinite solver instalados, tales como SeDuMi o SDPT3
sdpvar s t u
x = s^2;
y = t^2;
z = u^2;
p = (x+y)^4*(y+z)^4*(z+x)^4-8*x^2*y^2*z^2*((x+y)^2+(y+z)^2)*((y+z)^2+(x+z)^2)*((z+x)^2+(x+y)^2);
[diags,v,Q] = solvesos(sos(p));
La solución de $Q$ es un 61x61 matriz, cerca del singular, positivo semidefinite de la matriz (con algunos bloques de la estructura de derivados debido a la simetría de la explotación se realiza en la descomposición). Nota sin embargo, es sólo una indicación numérica de la positividad. El resultado sólo es correcta hasta aproximadamente 7 u 8 dígitos, ya que existe una discrepancia entre la p y la calculada descomposición.
max(abs(coefficients(p-v{1}'*Q{1}*v{1},[s;t;u])))
Sin embargo, aunque no es un verdadero certificado, podría dar algunas pistas hacia una simbólico de descomposición, y señala cuál es la respuesta.
Atacando @Camerons polinomios lugar, los caracteres numéricos son más a nuestro favor
sdpvar s t
a = 2 + s^2;
b = 2 + t^2;
p = ((a+b-2)*a*b)^4-8*(a-1)*(b-1)^2*((a+b-2)^2+a^2)*((a+b-2)^2+b^2)*(a^2+b^2)
[diagnostics,v,Q] = solvesos(sos(p))
Esta descomposición tiene un 68x68 de la matriz Q con el menor autovalor ~0.45, y mediante el uso de algunas trivial resultados sobre la diferencia entre el $p$ $v^TQv$ con el menor autovalor de a $Q$, se puede demostrar que esta descomposición realidad demuestra positividad, a pesar de ser aproximados(Teorema 4). Por desgracia, todo es sólo correcta precisión de la máquina, etc, es decir, todavía no es realmente un certificado válido.
Lockie
Puntos
636
Versión actualizada: Llame dado el polinomio $f(x,y,z)$. Tenga en cuenta que este es un polinomio simétrico, es decir, si queremos permutar $x,y,z$ en el polinomio, nos encontramos con el mismo polinomio--así que sin pérdida de generalidad, podemos suponer que la $x,y\geq z$.
Otra observación es que cada término del polinomio expandido tendrá el total del mismo grado, es decir $12$--por lo que el polinomio es homogéneo, demasiado. Esto sugiere que queremos volver a escribir $x=\alpha z$, $y=\beta z$, donde $\alpha,\beta\geq 1$ (desde $x,y\geq z>0$), para, a continuación, cada término tiene un factor de $z^{12}$, y nuestra $3$-variable problema se reduce a la (menos desalentador) $2$-variable problema de determinar si $$\frac{f(\alpha z,\beta z,z)}{z^{12}}\geq 0$$ for all $\alpha,\beta\geq 1$.
Para hacer nuestra vida un poco más fácil (por lo que no están trabajando con mucho a la vez y todo lo que quepa en una sola línea), vamos a establecer $$p(x,y,z):=\bigl((x+y)(x+z)(y+z)\bigr)^4$$ and $$q(x,y,z):=8x^2y^2z^2\bigl((x+y)^2+(x+z)^2\bigr)\bigl((x+y)^2+(y+z)^2\bigr)\bigl((x+z)^2+(y+z)^2\bigr),$$ so that $f=p-q$. Now, $$p(\alpha z,\beta z,z)=\bigl((\alpha+\beta)(\alpha+1)(\beta+1)\bigr)^4z^{12}$$ and $$q(\alpha z,\beta z,z)=8\alpha^2\beta^2\bigl((\alpha+\beta)^2+(\alpha+1)^2\bigr)\bigl((\alpha+\beta)^2+(\beta+1)^2\bigr)\bigl((\alpha+1)^2+(\beta+1)^2\bigr)z^{12}.$$
Estos son todavía desordenado, así que vamos a realizar otra de sustitución para mayor simplicidad. Conjunto $a:=\alpha+1$, $b:=\beta+1$, así $$p(\alpha z,\beta z,z)=\bigl((a+b-2)ab\bigr)^4z^{12}$$ and $$q(\alpha z,\beta z,z)=8(a-1)^2(b-1)^2\bigl((a+b-2)^2+a^2\bigr)\bigl((a+b-2)^2+b^2\bigr)(a^2+b^2)z^{12}.$$ Hence, we need to show that $$\bigl((a+b-2)ab\bigr)^4-8(a-1)^2(b-1)^2\bigl((a+b-2)^2+a^2\bigr)\bigl((a+b-2)^2+b^2\bigr)(a^2+b^2)\geq 0$$ for all $a,b\geq 2$.
En este punto, sin embargo, estoy atascado. Tal vez esto le dará a usted (o alguien más) una idea sobre cómo obtener el resto del camino-o tal vez Mathematica le dará lo que necesita. Lo siento!
