Soluciones de $1+2^a = 4 \cdot 3^b + 5^c$ en enteros

Question

<blockquote> <p>Encontrar todos los números enteros no negativos $a,b,c$ tal que $1+2^a = 4 \cdot3^b + 5^c$.</p> </blockquote> <p>He encontrado este problema en un viejo número teoría problema conjunto. Usando una computadora, encuentran que las soluciones sólo para $a,b,c \leq 30$ $(2,0,0),(3,0,1),(4,1,1),(7,0,3),(12,5,5)$. Estoy tentado a decir que estas son las únicas, pero no he podido probarlo.</p> <p>${}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}$</p>

Answer 1

Observar que todas las soluciones parecen tener $b \leq 5$. El tratamiento de los casos con $0 \leq b \leq 5$ como Se sugiere (por los medios locales o el uso de cotas inferiores para el lineal de formas en dos logaritmos), para llegar a la conclusión de que las únicas soluciones con $b < 6$ son los que ya se ha encontrado. Supongamos que $b \geq 6$; tenga en cuenta que tanto $2$ $5$ son de raíces primitivas de mod $3^6$, después de haber pedido $486$. Encontramos, precisamente, $243$ pares de residuos clases modulo $486$ $(a,c)$ tal que $$ 1+2^a \equiv 5^c \mod{3^6}. $$ Teniendo en cuenta la ecuación original modulo varios primos $p \equiv 1 \mod{486}$, nos encontramos con que sólo el par $a \equiv 248 \mod{486}$ $b \equiv 427 \mod{486}$ es compatible con $1+2^a=4 \cdot 3^b+5^c$ modulo ambos $p=487$$p=1459$. Teniendo en cuenta la ecuación módulo $p=17497$, a continuación, proporciona una contradicción.