...para todos

Question

Es elemental para mostrar que $$\left|\sum_{i=1}^Nf(x-i)\right|^2\leq N\sum_{i=1}^N|f(x-i)|^2$$ para cualquier función de $f:\mathbb R\to\mathbb R$ y cualquier $x\in\mathbb R$ (de hecho esto es válido para cualquier secuencia de números reales $a_i$, que no tienen que ser de la forma $a_i=f(x-i)$).

Mi pregunta es para que la clase de funciones de la desigualdad anterior se sostiene sin la N en el lado derecho, es decir, $$\left|\sum_{i=1}^Nf(x-i)\right|^2\leq C\sum_{i=1}^N|f(x-i)|^2,\qquad\forall x\in\mathbb R$$ para algunos $C>0$ independiente de $N$$x$. Es claro que tales funciones incluyen funciones con soporte compacto, pero seguro que la clase es más grande que esto.

Experimentos con Maple parecen sugerir que tal desigualdad sigue siendo cierto para funciones decae de manera exponencial, pero no lleva a cabo para las funciones decae exponencialmente.

Answer 1

Si mesetas (intervalos donde la función es constante) de la longitud L de existir, entonces C debe ser al menos $ L $. Ninguna Asunción de decaimiento de la función evitará que arbitrariamente largas mesetas. Ni unos ni otros voluntad cualquier espacio invariantes de la traducción como Sovolev espacios. Necesita por ejemplo un espacio cuya norma incluye un derivado ponderado con pesos crecientes en el infinito