Construcción explícita para unitario extensiones de completamente positivo y de seguimiento de la preservación (CPTP) de los mapas?

Question

Dado un completo positivos y de seguimiento de la preservación de mapa de $\Phi : \textrm{L}(\mathcal{H})\to\textrm{L}(\mathcal{G})$, es evidente por la Kraus teorema de representación que existen $A_k \in \text{L}(\mathcal{H}, \mathcal{G})$ tal que $\Phi(\rho) = \sum_k A_k \rho A_k^\dagger$ para todos los operadores de densidad $\rho$$\mathcal{H}$. (Voy a considerar el caso especial $\mathcal{H} = \mathcal{G}$ por la simplicidad.)

Si utilizamos el sistema+entorno de modelo para expresar esta acción como $\Phi(\rho)=\text{Tr}_{\mathcal{H}_E} (Y\rho Y^\dagger)$ para una isometría $Y$ $\mathcal{H}$ $\mathcal{H}\otimes\mathcal{H}_E$donde $\mathcal{H}_E$ es una ancilla la modelización del medio ambiente, lo que es una construcción explícita de un unitario $U$ que tiene la misma acción en las entradas de la forma $\rho\otimes\left|0\right>\left<0\right|_E$? Es decir, ¿cómo puedo construir una explícita de la dilatación del mapa a un unitario que actúa en un espacio más grande? Entiendo que esto es posible por Steinspring la dilatación del teorema, pero en realidad la construcción de una forma explícita para la dialated unitario he tenido mucho menos éxito.

Answer 1

La isometría $Y:\mathcal H\rightarrow \mathcal H_E \otimes \mathcal H$ es $$ Y=\left(\begin{array}{c} A_1 \\ \vdots \\ A_K \end{array}\right) = \sum_k |k\rangle \otimes A_k\ . $$ Claramente, $$ \mathrm{tr}_E(Y\rho Y^\daga) = \sum_{kl} \mathrm{tr}(|k\rangle\langle l|) A_k\rho A_l^\daga = \sum_k A_k \rho A_k^\daga \ , $$ como se desee. Por otra parte, $Y$ es una isometría, $Y^\dagger Y=I$, es decir, sus columnas son ortonormales, que se sigue de la condición de $\sum_k A_k^\dagger A_k=I$ (es decir, el mapa se traza la conservación).

Ahora, si quieres obtener un unitario que actúa en $|0\rangle\langle 0|\otimes \rho$ de la misma manera $Y$ actúa en $\rho$, usted tiene que ampliar la matriz $Y$ a un unitaria mediante la adición ortogonal de vectores columna. Por ejemplo, usted puede escoger vectores linealmente independientes de su favorito de la base y orthonormalize. (Claramente, $U$ es altamente no es único, ya que su acción sobre el medio ambiente de los estados distinta de $|0\rangle$ no está bien definido.)