Un problema elemental en la teoría de grupos: el único grupo de orden no cíclico 4

Question

Siguiendo los consejos dados en esta pregunta, he empezado a Grupo de estudio de la Teoría desde la base. Mi texto de referencia es el Álgebra Abstracta por Dummit y Foote. Mientras va a través de los ejercicios (página 24) he encontrado un problema que requiere más esfuerzo que otros:

Suponga $G = \{1, a, b, c\}$ es un grupo de orden $4$ con identidad $1$. Asimismo, se asume que $G$ no tiene elementos de orden $4$. El uso de la anulación de las leyes para mostrar que no hay un único grupo de la tabla para $G$. Deducir que $G$ es abelian.

Procedí con la solución de la siguiente manera. Desde $G$ es de orden debe haber al menos un elemento de orden $2$ (esta declaración en sí era uno de los problemas en los ejercicios y es fácil de manejar). Desde la redacción de la pregunta parece que ninguno de los elementos $a, b, c$ es destacado con propiedades específicas y, por tanto, $a, b, c$ debe comportarse exactamente de la misma manera. Por lo tanto cada uno de ellos es de orden $2$. Por lo tanto $a^{2} = b^{2} = c^{2} = 1$.

Lo siguiente que analizar el producto $ab$. Claramente no puede ser $a$ ($b$ es no-identidad) o $b$ ($a$ es no-identidad) o $1$ (debido a $ab = 1 = aa$ implica $b = a$). Por lo tanto $ab = c$ y de manera similar a $ba = c$. Por la naturaleza similar de todos los elementos $a, b, c$ se sigue que $bc = cb = a$$ca = ac = b$. Por lo que la operación del grupo se define correctamente para todos los elementos y claramente es abelian.

Creo que mi solución es ACEPTAR, pero no estoy seguro. Tenga en cuenta que no he utilizado el hecho de que $G$ no tiene elementos de orden $4$. Por favor, hágamelo saber :

1) si mi solución es correcta. Si no, a continuación, señalar los defectos.

2) si hay alguna mejor / más corto solución. Si es así proporcionar sugerencias y no de la solución.

La pregunta puede sonar demasiado fácil / simple pero puedo solicitar que me traten como a un principiante que nunca ha oído hablar de la Teoría de Grupo y es de lectura frescos desde el texto de referencia que he mencionado. Gracias de antemano por sus aportes.

EDIT: Pensar más acerca de este problema me preguntaba qué pasaría si un elemento de orden $4$ fue permitido en $G$. En ese caso creo que el grupo tiene que ser isomorfo al grupo $G_{1} = \{1, 2, 3, 4\}$ con modulo $5$ multiplicación como el grupo de operación. El argumento es como sigue. Supongamos $a$ es de orden $4$ y deje $b$ ser su inversa, a continuación, $b$ es también de orden $4$. Ahora $c$ tiene que ser su propio inverso, de modo que $c^{2} = 1$. De nuevo $a^{2} \neq 1$ (como $ab = 1$), $a^{2} \neq a$ (como $a \neq 1$), $a^{2} \neq b$ (ya que significaría $b^{2} = 1$ e lo $b$ sería del orden de $2$). Por lo tanto $a^{2} = c$ y de manera similar a $b^{2} = c$. Siguiente, podemos ver que $ac \neq a$, $ac \neq c$, $ac \neq 1$ (como $ab = 1$) por lo que el $ac = b$. Del mismo modo $ca = b$, $bc = a$, $cb = a$. También es claro que este grupo resulta ser cíclico con tanto $a$ $b$ como generadores. Y también se desprende que no son los dos únicos ($G$ en la pregunta original y $G$ en nueva variación) de los grupos de orden $4$ hasta un isomorfismo. Espero haber aprendido algo de las respuestas dadas para la pregunta original y esta solución es correcta. Por favor, hágamelo saber si hay algún problema con este razonamiento.

Answer 1

Aquí es una solución completa:

Este grupo sólo tiene un elemento de orden 1

($a^1 = a$ así que si $a^1=1$,$a=1$).

Este grupo no tiene elementos de orden 4 o superior

(4 está fuera de la ley por hipótesis; la orden de 5 o superior implica que $a^1,a^2,a^3,a^4,a^5$ 5 elementos distintos de un conjunto de 4 elementos).

Este grupo no tiene elementos de orden 3

(si $a$ es de orden 3,$a^2 \neq 1$$a^2 \neq a$, lo $a^2 =b$ (o $c$, pero WLOG elegimos $b$). Por lo tanto $ab=ba=1$$b^2=a$. ¿Qué acerca de $ca$? $ca=1$ implica $c=b$. $ca=a$ implica $c=1$. $ca=b$ implica $c=a$. $ca=c$ implica $a=1$. Oh no!)

Por lo tanto, todos los elementos de orden 2, y terminamos exactamente como usted lo hizo.

Answer 2

La siguiente no es válido:

"A partir de la redacción de la pregunta parece que ninguno de los elementos a,b,c es destacado con propiedades específicas y, por tanto, a,b,c, deben comportarse exactamente de la misma manera."

Por suerte, esto sigue siendo cierto:

"Lo $a^{2} = b^{2} = c^{2} = 1$."

Una correcta prueba más probable es que el uso del teorema de Lagrange (y sin el uso de Cauchy, "existe al menos un elemento de orden 2").

El teorema de Lagrange: El orden de un elemento que divide al orden del grupo.

Puesto que 4 es un número muy pequeño, también se puede simplemente eliminar la posibilidad de la orden de 3 directamente (por hipótesis 4 no está permitido, y espero que quede claro que el 5 está a la derecha).

Answer 3

Usted no necesita Teorema de Lagrange o Teorema de Cayley para este problema.

Usted sabe que $ab \neq a$$ab \neq b$. A continuación, sólo tiene 2 opciones para $ab$: $$ab=1 \, \mbox{or} \, ab=c \,.$$

Podemos demostrar que $ab=1$ no es posible.

Supongamos por contradicción que $ab=1$, $a,b$ son inversos el uno al otro, y por lo tanto, la inversa de a $c$ debe $c$.

A continuación, $a^2 \neq 1, a^2 \neq a$ son obvias, mientras que $a^2=c$ implicaría que $a$ orden $4$, lo cual no es posible.

Por lo tanto $a^2=b$, y, por tanto,$a^3=ab=1$.

Pero entonces, no hay ninguna opción para $ac$. De hecho,$ac \neq 1 (=ab), ac \neq b(=a^2), ac \neq c, ac \neq a$. Así hemos llegado a una contradicción.

Hemos demostrado que la $ab=c$. Misma manera que usted consigue $ba=c$, $ac=ca=b, bc=cb=a$, y a partir de aquí se puede deducir fácilmente que $a^2=b^2=c^2=1$.