Isomorfismos de$\mathbb P^1$

Question

Demostrar que todos los isode morfismos de $\mathbb P^1$ (más de un algebrically campo cerrado $\mathbb K$) es de la forma $$ \phi(x_0: x_1) = (ax_0+bx_1 : cx_0 + dx_1) $$ donde $\begin{pmatrix} a & b \\c & d\end{pmatrix} \in GL(2, \mathbb K).$

Hay algunas sugerencias, que te voy a mostrar lo que he hecho.

1. Demuestra que la acción de $PGL(2, \mathbb K)$ $\mathbb P^1$ es transitiva.

Bueno, creo que esto es bastante intuitivo, pero no puedo encontrar una rigurosa prueba. Nos deja elegir dos puntos distintos $x=(x_0:x_1)$$y=(y_0 : y_1)$. Quiero encontrar una matriz invertible $A$ s.t. $Ax = y$. Es fácil ver que este sistema (las incógnitas son las entradas de $A$) siempre ha de soluciones (y, tal vez, uno puede encontrar una solución s.t. $ad-bc \ne 0$). Mi pregunta es: ¿hay una manera más fácil de ver que esta acción es transitiva? Es suficiente decir que "Es trivialmente cierto en el afín caso lo que debe ser cierto en el espacio proyectivo así"?

2. Utilizando el hecho de que cada isomorfismo de $\mathbb A^1$ es de la forma $t \mapsto at+b$ (para algunos $a \ne 0$), demostrar que el reclamo de morfismos s.t. $\phi(0:1)=(0:1)$.

Supongamos $\phi$ es una de morfismos s.t. $\phi(0:1)=(0:1)$. Si nos restringimos $\phi\vert_{U_0}$ obtenemos un morfismos de $U_0 \simeq \mathbb A^1$, por lo tanto debe de la forma $$ \phi(1:x) = (1:ax+b) $$ es decir, $$ \phi(x_0:x_1) = (x_0:ax_0+bx_1) $$

Es esto correcto? ¿Por qué he de suponer que $(0:1) \mapsto (0:1)$?

3. A la conclusión.

No veo cómo, para concluir en este punto, estoy perplejo. Podría por favor ayudarme?

Gracias.