Comprobar la convergencia / divergencia de $\sum_{n=2}^\infty(-1)^n\frac {\sqrt n}{(-1)^n+\sqrt n}\sin\left(\frac {1}{\sqrt n}\right)$

Question

¿Cómo puedo probar o refutar la siguiente serie converge?

$$\sum_{n=2}^\infty(-1)^n\cfrac {\sqrt n}{(-1)^n+\sqrt n}\sin\left(\frac {1}{\sqrt n}\right)$$

He intentado varias cosas, ninguna de las cuales trabajó.

Yo quería usar Abel prueba o de Dirichlet en la prueba. Sé que $\sin(\frac {1}{\sqrt n})$ es monótonamente decreciente a $0$, pero no he sido capaz de demostrar que $\Sigma_{n=2}^\infty(-1)^n\frac {\sqrt n}{(-1)^n+\sqrt n}$ es convergente, ya que no converge absolutamente desde $\frac {\sqrt n}{(-1)^n+\sqrt n}$ converge a 1. Ni soy capaz de demostrar que la suma parcial de la secuencia de $\frac {\sqrt n}{(-1)^n+\sqrt n}$ está acotada. Estoy en una pérdida. Me gustaría alguna ayuda.

Nota - Esta pregunta exacta fue discutido aquí hace un par de años, pero no fue respondida, a continuación, y la sugerencia proporcionada en las respuestas no fue útil.

Answer 1

Sugerencia. Por series de Taylor de las expansiones, que uno tiene, como $x \to 0$, $$ \sin x=x+O(x^3), \qquad \frac1{1+x}=1-x+O(x^2), $$giving, as $n \to \infty$, $$ (-1)^n\frac {\sqrt n}{(-1)^n+\sqrt n}=\frac {(-1)^n}{1+\frac{(-1)^n}{\sqrt n}}=(-1)^n-\frac{1}{\sqrt n}+O\left(\frac {1}{n} \right), $$and$$ \sin\frac {1}{\sqrt n}=\frac {1}{\sqrt n}+O\left(\frac {1}{n^{3/2}} \right). $$ Then, as $n \to \infty$, se obtiene

$$ (-1)^n\frac {\sqrt n}{(-1)^n+\sqrt n}\:\sin \frac {1}{\sqrt n}=\frac{(-1)^n}{\sqrt n}-\frac1n+O\left(\frac {1}{n^{3/2}} \right). $$

Se puede tomar desde aquí?

Answer 2

Observar que $$ \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n} + (-1)^n} = \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n} + (-1)^n} \cdot \frac{\sqrt{n} - (-1)^n}{\sqrt{n} - (-1)^n} = \frac{n - (-1)^n \sqrt{n}}{n-1}, $$ de ahí el término general $a_n$ de su serie puede ser escrito como $$ a_n = b_n + c_n, \qquad b_n := (-1)^n \frac{n}{n-1} \sin \frac{1}{\sqrt{n}}, \quad c_n := - \frac{\sqrt{n}}{n-1} \sin \frac{1}{\sqrt{n}}\,. $$ Ahora, $\sum_n b_n$ es convergente por el criterio de Leibnitz para la alternancia de la serie, mientras que el $\sum c_n$ diverge a $-\infty$ (desde $c_n \sim - 1/n$). Por lo $\sum a_n$ diverge a $-\infty$.

Answer 3

De ${1\over1+u}=1-u+{u^2\over1+u}$ tenemos

$${\sqrt n\over(-1)^n+\sqrt n}={1\over1+{(-1)^n\over\sqrt n}}=1-{(-1)^n\over\sqrt n}+{{1\over n}\over1+{(-1)^n\over\sqrt n}}=1-{(-1)^n\over\sqrt n}+{1\over n+(-1)^n\sqrt n}$$

Ahora, a multiplicar por $(-1)^n\sin\left(1\over\sqrt n\right)$, vemos

$$\sum_{n=2}^\infty(-1)^n\sin\left(1\over\sqrt n\right)$$

converge condicionalmente mientras

$$\sum_{n=2}^\infty{(-1)^n\over n+(-1)^n\sqrt n}\sin\left(1\over\sqrt n\right)$$

converge absolutamente (desde $\sin(1/\sqrt n)/(n+(-1)^n\sqrt n)\approx1/n^{3/2}$ % grande $n$), pero

$$\sum{n=2}^\infty{1\over\sqrt n}\sin\left(1\over\sqrt n\right)\approx\sum{n=2}^\infty{1\over n}$$

diverge. Así que diverge la suma total.