demostrando la existencia de una secuencia tal que el límite existe?

Question

¿Alguien puede probar la existencia de una secuencia$(n_{k})_{k\in \mathbb{N}}$ de enteros positivos distintos tal que el límite:$\lim_{k\rightarrow \infty }\sin(n_{k})$ existe en$\mathbb{R}$

Definitivamente puedo construir una secuencia$(n_{k})_{k\in \mathbb{N}}$ tal que$\frac{1}{2}\leq \sin(n_{k})\leq 1$, pero esto no implica que esta secuencia sea convergente. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Cada secuencia limitada a subsequence convergente, ver Teorema de Bolzano-Weierstrass.

Si esto aplica a la secuencia $(\sin n)_{n=0}^\infty$, se obtiene el resultado deseado.

(O usted puede mímico la prueba del teorema de Bolzano-Weierstrass, si lo prefiere).

Answer 2

Enciendo mi comentario en una respuesta: sigue directamente de http://en.wikipedia.org/wiki/Irrational_rotation

Answer 3

Como @MartinSleziak señaladas, la existencia de tal secuencia es fácil. Un poco menos obvia es cómo construir la secuencia más o menos explícitamente. Supongamos que $p$ y $q$ ser enteros positivos tales que $\left| \dfrac{p}{q} - \pi\right|

Answer 4

Un par de cosas que pensar:

1) % que $\phi: \mathbb{R} \to \mathbb{R} / 2\pi\mathbb{Z}$ser el mapa de proyección. Entonces es densa en $\phi(\mathbb{N})$ $\mathbb{R} / 2\pi\mathbb{Z}$.

2) % que $n_k$ser una secuencia creciente de enteros positivos (distintas) definido por cosecha $n_k$ tal que $n_k$ % % mod $($% #%.