$x^2+x+1$ es el cubo de un primo.

Question

Favor de ayudarme a encontrar todos los números naturales $x$, de modo que $x^2+x+1$ es el cubo de un número primo.
(Utilizado en aquí)

Answer 1

Por Ljunggren (1942), la ecuación de $x^2+x+1=y^3$ tiene sólo estos entero soluciones: $(x,y)=(0,1)(-1,1)(18,7)(-19,7).$

Answer 2

Esto nunca es una solución completa, pero más grande que el tamaño que un comentario puede permitirse el lujo de

Si $x^2+x+1=p^3$ donde $p$ es primo.

Claramente, $p\ne2$

Como $p$ divide $x^2+x+1,p$ brecha $(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1$

$\implies x^3\equiv1\pmod p\implies ord_px=3\implies 3$ divide $p-1$

Así, el primer $p=3q+1$ para algún número natural $q$

Como, $p>2$ es decir, impar, $p$ puede ser escrito como $6r+1$ para algún número natural $r$

Ahora, $x^2+x=p^3-1=(6r+1)^3-1=18r(12r^2+6r+1)$

Observar que $(18r,12r^2+6r+1)=1$

Como $(x,x+1)=1,$

$x,x+1$ $18r,12r^2+6r+1$

$\implies 12r^2+6r+1-(18r)=x+1-x=1$

$\implies 12r^2-12r=0\implies r=1$ $r>0$

Ahora, podemos probar otros evidente combinaciones menos que podemos factorizar $12r^2+6r+1$

$x=2r,x+1=9(12r^2+6r+1)$

$x=9r,x+1=2(12r^2+6r+1)$

etc.