Pregunta en el grupo anillo $\mathbb{Q}G$ $G$ Dónde está un grupo finito

Question

Deje $G=\{e=g_1,g_2,.....g_n\}$ ser un grupo finito de orden n y deje $\mathbb{Q}G$ ser el anillo de grupo. Deje $\sigma=\sum_1^ng_i$. Demostrar que $\sigma^2=n\sigma$, y deducir que $\mathbb{Q}G$ tiene un trivial idempotente $e$. Deducir que $\mathbb{Q}G$ puede ser escrito como nonrivial suma directa y por lo tanto tiene "muchos" divisores de cero.

Bien, así que este lo que quiere es bastante complicado. Tan lejos como muestra de $\sigma^2=n\sigma$, supongo que debería cuadrado de la suma y ver qué pasa. Estoy un poco nervioso acerca de la distribución de dos $n$ componente de polinomios, así que tal vez hay una manera que puedo pensar es que involucran permutaciones o algo? Y relaly solo necesito ayuda en esto, he pensado acerca de ello y se fue por encima de mis notas y no soy de los que parece llegar a ninguna parte >.<.

Answer 1

Primero de todo, antes de computar $\sigma^2$, donde

$\sigma = \displaystyle \sum_{i = 1}^n g_i, \tag 1$

se observa que el $\sigma$ está en el centro de la $G$; es decir,

$\sigma \in Z(\Bbb Q G); \tag 2$

esto se deduce del anillo de grupo de identidad

$g_j \left ( \displaystyle \sum_{i = 1}^n g_i \right ) = \left ( \displaystyle \sum_{i = 1}^n g_i \right ) g_j, \forall g_j \in G, \tag 3$

lo que sigue a partir de la

$g_j \left ( \displaystyle \sum_{i = 1}^n g_i \right ) = \displaystyle \sum_{i = 1}^n g_j g_i \tag 4$

y

$\left ( \displaystyle \sum_{i = 1}^n g_i \right ) g_j = \displaystyle \sum_{i = 1}^n g_i g_j, \tag 5$

y tenemos

$\displaystyle \sum_{i = 1}^n g_j g_i = \sum_{i = 1}^n g_i g_j, \tag 6$

que se une, ya que cada lado es simplemente una suma de todos los $g \in G$, siendo a la izquierda o a la derecha de la multiplicación por un elemento, simplemente permutes los miembros de $G$ (que tomamos como bien se conoce); (3) se sigue de (4), (5) y (6) que actúan juntos en la colusión. Y de (3) se sigue por la linealidad que

$g \left ( \displaystyle \sum_{i = 1}^n g_i \right ) = \left ( \displaystyle \sum_{i = 1}^n g_i \right ) g, \forall g \in G, \tag 7$

es decir, (2).

Procedemos a calcular el $\sigma^2$:

$\sigma^2 = \left ( \displaystyle \sum_{i = 1}^n g_i \right ) \left ( \displaystyle \sum_{j = 1}^n g_j \right ) = \left ( \displaystyle \sum_{i = 1}^n g_i \left ( \displaystyle \sum_{j = 1}^n g_j \right ) \right ) = \displaystyle \sum_{i = 1}^n \left ( \displaystyle \sum_{j = 1}^n g_i g_j \right ); \tag 8$

de nuevo, desde el $g_i$ simplemente permutes la $g_j$, vemos que

$\displaystyle \sum_{j = 1}^n g_i g_j = \sum_1^n g_j = \sigma,\tag 9$

de dónde

$\sigma^2 = \displaystyle \sum_1^n \sigma = n \sigma. \tag{10}$

Ahora vamos a

$e = \dfrac{\sigma}{n}; \tag{11}$

entonces

$e^2 = \dfrac{\sigma^2}{n^2} = \dfrac{n \sigma}{n^2} = \dfrac{\sigma}{n} = e, \etiqueta{12}$

por lo $e$ es idempotente; además, a la luz de (2),

$e \in Z(\Bbb Q G) \tag{13}$

así.

Ahora considere las dos caras principales ideas

$(\Bbb Q G) e, (\Bbb Q G)(1 - e) \subset \Bbb Q G; \tag{14}$

cada uno es un sub-anillo con unidad de $\Bbb Q G$, la unidad de $\Bbb Q G$ es fácilmente visto a $e$, desde

$(re)e = re^2 = re, \; \forall re \in (\Bbb Q G)e; \tag{15}$

también, desde

$(1 - e)^2 = 1 - 2e + e^2 = 1 - 2e + e = 1 - e, \tag{16}$

es decir, $1 - e$ sí es idempotente, es la unidad de $(\Bbb Q G)(1 - e)$:

$(r(1 - e)(1 - e) = r(1 - e)^2e^2 = r(1 - e), \; \forall r(1 -e) \in (\Bbb Q G)(1 - e); \tag{17}$

y si $t \in \Bbb Q G$,

$t = t1 = t(e + (1 - e)) = te + t(1 - e) \in (\Bbb Q G)e + (\Bbb Q G)(1 - e), \tag {18}$

es decir,

$\Bbb Q G = (\Bbb Q G)e + (\Bbb Q G)(1 - e); \tag{19}$

finalmente,

$(\Bbb Q G)e \cap (\Bbb Q G)(1 - e) = \{0\}, \tag{20}$

ya que si

$re = s(1 - e), \tag{21}$

entonces

$s(1 - e) = re = re^2 = ree = s(1 - e)e = s(e - e^2) = 0; \tag{22}$

así, en la última podemos escribir

$\Bbb Q G = (\Bbb Q G)e \oplus (\Bbb Q G)(1 - e), \tag{23}$

la suma directa de $(\Bbb Q G)$$(\Bbb Q G)(1 - e)$.

Desde

$a \in (\Bbb Q G)e, b \in (\Bbb Q G)(1 - e) \Longrightarrow ab = 0, \tag{24}$

vemos que hay una panoplia de divisores de cero en $\Bbb Q G$.

Answer 2

Sugerencia Cada $g \in G$ el $f: G \to G, f(x)=gx$ de la función es una biyección. Utilice esto para deducir ese % $ $$g\sigma = \sigma$

Desde aquí se llega $$\sigma^2= \sum_{j=1}^n gj \sigma= \sum{j=1}^n \sigma$ $, que da la primera afirmación.

Finalmente, cuál es $$(\frac{1}{n} \sigma)^2=??$ $