[Pegado]: paso Final de la resolución de límites, cálculo

Question

Calcular el valor de $k$ de manera tal que el siguiente límite tiene un número finito de soluciones, $L$ tal que $L \ne 0$:

$$\lim_{x\rightarrow0} \frac{(e^{x^2}-x^2-1)(\cos(x)-1)}{x^k}$$

Puedo utilizar la Serie de Taylor de las expansiones de $e^x$ $\cos(x)$ y simplificar la expresión anterior a la siguiente:

$$\lim_{x\rightarrow0} \frac{-\frac{1}{4}x^6+(\frac{1}{48}-\frac{1}{12})x^8+(\frac{1}{144})x^{10}}{x^k}$$

Ahora tengo un mental obstáculo. Para $k<6$ el límite anterior se va a cero y para $k>6$ esta expresión debe divergir, pero en mi cabeza se va a cero de nuevo.... Estoy tratando de pensar en un ejemplo simple para convencer a mí mismo, pero no puede. Por favor alguien puede ayudarme a entender esto?

Gracias.

Answer 1

Usted está casi allí

$$\lim_{x\rightarrow0} \frac{-\frac{1}{4}x^6+(\frac{1}{48}-\frac{1}{12})x^8+(\frac{1}{144})x^{10}}{x^k}=\\ =\lim_{x\rightarrow0} -\frac{1}{4}x^{6-k}+(\frac{1}{48}-\frac{1}{12})x^{8-k}+(\frac{1}{144})x^{10-k} $$

Si alguno de los exponentes es negativo, entonces el límite tiende a infinito, por lo que debe tener $k\le 6$. También si todos los exponentes son (stricly) positivo (esto sucede iff $k<6$) el límite se va a cero.

Entonces usted debe tener $k=6$.

para $k>6$ esta expresión debe divergir, pero en mi cabeza se va a cero de nuevo....

Por qué? Si $k>6$, la primera (al menos) sumando tiende a infinito.

La receta estándar para los límites con polinomios es: "Al $x$ va al infinito, el más alto grado de término de reglas; al $x$ llega a cero, el nivel más bajo plazo de reglas". Aquí, esto sugiere que el factor de la sentencia de término de la fracción y escribir como

$$ x^{6-k} ( a + b x^2 +cx^4)$$ para algunos no-cero $a,b,c$. Entonces, vemos rápidamente que como $x\to 0$ el factor entre paréntesis tiende a la constante $a$, y tenemos tres casos: si $k<6$ la izquierda factor tiende a cero, si $k>6$ tiende a infinito, si $k=6$ tiende a uno (y, por tanto, el límite a $a$).

Answer 2

Como una derivación alternativa, tenemos

$$ \lim{x\rightarrow0} \frac{(e^{x^2}-x^2-1) (\cos x-1)} {x ^ k} = \lim{x\rightarrow0} \frac{e^{x^2}-x^2-1}{x^{k-2}}\lim{x\rightarrow0} \frac{\cos x-1} {x ^ 2} =-\frac12\lim {x\rightarrow0} \frac{e^{x^2}-x^2-1}{x^{k-2}}$$

luego de recordar que

$$e^{x^2}=1+x^2+\frac12x^4+o(x^4)$$

y luego para $k=6$

$$\lim{x\rightarrow0} \frac{e^{x^2}-x^2-1}{x^{4}}=\lim{x\rightarrow0} \frac{\frac12x^4+o(x^4)}{x^{4}}=\lim_{x\rightarrow0} \frac{\frac12+o(1)}{1}=\frac12$$

y por lo tanto

$$\lim_{x\rightarrow0} \frac{(e^{x^2}-x^2-1)(\cos x-1)}{x^6}=-\frac14$$

Answer 3

$\cos x-1\sim -\frac{1}{2}x^2$ y $e^{x^2}-x^2-1\sim\frac{1}{2}x^4$, tan $k=6$y $L=-\frac{1}{4}$.