Convergencia de$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\left(\sqrt{n}\right)\left(n^{\alpha\cos(\frac{1}{n})}-n-\cos\left(\frac{1}{n}\right)\right)\right)^{-1}$

Question

Convergencia de las siguientes series como $\alpha \in \mathbb{R}$

$$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\left(\sqrt{n}\right)\left(n^{\alpha\cos(\frac{1}{n})}-n-\cos\left(\frac{1}{n}\right)\right)\right)^{-1}$$

$n \to +\infty$ Tenemos $a_n\sim \left(n^{\frac{1}{2}}\left(n^{\alpha}-n-1\right)\right)^{-1} = \left(n^{\frac{2\alpha+1}{2}}-n^\frac{3}{2}-n^\frac{1}{2}\right)^{-1}$

Por lo tanto, como $0

$\alpha>1$ Tenemos $a_n=\mathcal{O}\left(\frac{1}{n^\frac{2\alpha+1} {2}}\right)$, $n \to +\infty$, que a su vez converge.

¿Es correcto o me deshice de demasiada información en la expansión asintótica?

Answer 1

Tenemos que

$$\cos\left(\frac{1}{n}\right)=1+O\left(\frac1{n^2}\right)$$

$$n^{\alpha\cos(\frac{1}{n})}=e^{\alpha\cos(\frac{1}{n})\log n}=e^{\alpha\log n+O\left(\frac{\log n}{n^2}\right)}=n^{\alpha}\left(1+O\left(\frac{\log n}{n^2}\right)\right)=n^{\alpha}+O\left(\frac{\log n}{n^{2-\alpha}}\right)$$

$$n^{\alpha\cos(\frac{1}{n})}-n-\cos\left(\frac{1}{n}\right)=n^{\alpha}+O\left(\frac{\log n}{n^{2-\alpha}}\right)-n-1+O\left(\frac1{n^2}\right)$$

y por lo tanto

• para $\alpha<1$

$$\left[\sqrt{n}\left(n^{\alpha\cos(\frac{1}{n})}-n-\cos\left(\frac{1}{n}\right)\right)\right]^{-1} \sim-\frac1{n\sqrt n}$$

• para $\alpha=1$

$$\left[\sqrt{n}\left(n^{\alpha\cos(\frac{1}{n})}-n-\cos\left(\frac{1}{n}\right)\right)\right]^{-1} \sim-\frac1{\sqrt n}$$

• para $\alpha>1$

$$\left[\sqrt{n}\left(n^{\alpha\cos(\frac{1}{n})}-n-\cos\left(\frac{1}{n}\right)\right)\right]^{-1} \sim \frac1{n^{\alpha+\frac12}}$$

y la serie converge si y sólo si $\alpha \neq 1$.