¿Puede conservar una ecuación de Schrödinger de segundo orden la norma?

Question

¿Supongamos que vivimos en un universo en el que la ecuación de Schrödinger contiene derivados de momento de segundo orden, \rangle$ $$i\hbar \partial_t^2|\varphi(t)\rangle = \mathbb{H} | \varphi(t)\rangle.$$ Would it be true that the norm of $|\varphi (t) es tiempo de independiente?

Answer 1

No, la norma no se conservarán. Por simplicidad, supongamos que el Hamiltoniano es independiente del tiempo con discreta (pero posiblemente degenerado) autovalores $E_n$. Entonces tenemos $$\begin{align*} |\psi(t)\rangle &= \sum_n c_n(t)\, |E_n\rangle \\ i \hbar \partial_t^2 |\psi(t)\rangle &= H |\psi(t)\rangle \\ i \hbar \sum_n \ddot{c}_n(t)\, |E_n\rangle &= \sum_n c_n(t)\, E_n |E_n\rangle \\ \sum_n (i \hbar \ddot{c}_n(t)- c_n(t)\, E_n) |E_n\rangle &= 0 \\ \ddot{c}_n(t) + \frac{i}{\hbar} E_n c_n(t) &= 0 \\ c_n(t) &= \exp \left( \sqrt{-\frac{i E_n}{\hbar}} t \right) = \exp \left( \sqrt{\frac{E_n}{\hbar}} e^{-\frac{i \pi}{4}} t \right) \\ |c_n(t)|^2 &= c_n(t)\, c_n^*(t) = \exp \left( \sqrt{\frac{2 E_n}{\hbar}} t \right) \end{align*}$$

y $|\psi(t)|^2$ crece exponencialmente con el tiempo. El problema es que $e^{-i E_n / \hbar}$ evoluciona en una norma-la preservación de camino a lo largo del tiempo, pero la segunda derivada trae en una raíz cuadrada que gira el imaginario puro exponente en tener una parte real, que pierde cosas.

Pero su propuesta de modificación, no es realmente la física natural, de todos modos. Por un lado, tenga en cuenta que su "$\hbar$" tiene diferentes unidades de la física. En lugar de dejar el $i\hbar$ tal como es, pero el cambio de la $\partial_t$$\partial_t^2$, la más natural de modificación a la ecuación de Schrödinger que hace de segundo orden es "cuadrada" de los operadores en ambos lados, es decir, a cambio de $i \hbar \partial_t$$(i \hbar \partial_t)^2 = -\hbar^2 \partial_t^2$$H$%#%, para obtener $H^2$$ En el caso de la Hamiltoniana $$-\hbar^2 \partial_t^2 |\psi(t)\rangle = H^2 |\psi(t)\rangle.$ para un relativista de la partícula, esto es conocido como el de Klein-Gordon ecuación, y si tiene el mismo problema de la falta constante de la norma, resulta de describir con precisión el tiempo de evolución de un escalar relativista cuántica de campo (no de partículas, como era de esperar).

Answer 2

Déjame recoger mis comentarios anteriores de modo que el mensaje "a veces, pero no siempre" no se pierde.

El argumento habitual para el sistema convencional Schr eqn con hermitean, independiente del tiempo $\mathbb{K}$, $$ i\manejadores\partial_t \langle \varphi|\varphi\rangle = \langle \varphi|\mathbb{K}- \mathbb{K}^\daga|\varphi\rangle=0 , $$ es aparentemente perdido, ya que sólo se consigue $$ i\manejadores\partial_t (\langle \varphi|\dot \varphi\rangle -\langle \dot \varphi|\varphi\rangle)= \langle \varphi|\mathbb{H}+ \mathbb{H}^\daga|\varphi\rangle $$ de esta manera-integración por partes. Así, por antihermitean $\mathbb{H}$, se obtiene una cantidad conservada, pero no la norma.

Sin embargo, el núcleo de $(iℏ∂_t−\mathbb{K})$ también estará en el núcleo de $(iℏ∂^2_t−\mathbb{K}^2/iℏ)$, es decir, el invariante de la norma soluciones de la Schr eqn para $\mathbb{K}$ también resolver la ecuación con $\mathbb{H}=−i\mathbb{K}^2/ℏ$, que también tienen "mal" soluciones, así, naturalmente.

Se puede ilustrar esto de una forma esquemática, (dejando la definición de la norma a un lado los problemas-puede que trivialmente modular su respuesta por espacio Gaussiano filtros), por la más trivial ejemplo, $ \mathbb{K}=ℏω$, por lo tanto $ \mathbb{H}=−iℏω^2$, de donde se obtiene oscilatorio soluciones de $\exp(±iωt)$ la preservación de la norma; mientras que su trigonométricas combinaciones, $\cos(ωt), ~\sin(ωt)$, naturalmente, no.

Answer 3

La respuesta a tu pregunta es que para genérica de las condiciones iniciales, la respuesta es no. Voy a dar una explícita contador de ejemplo a continuación.

Primero de todo, vivimos en un universo donde las ecuaciones de Schrödinger puede ser escrito como una de segundo orden de la ecuación: sólo se aplican $- \mathrm{i} \partial_t$ a (de primer orden) ecuación de Schrödinger \begin{align} \mathrm{i} \partial_t \psi(t) = H \psi(t) , && \psi(0) = \phi \in \mathcal{H} , \label{Schroedinger_equantion} \end{align} y obtener el segundo orden de la ecuación de onda \begin{align} \partial_t^2 \psi(t) = - H^2 \psi(t) , \label{wave_equation} \end{align} con las condiciones iniciales \begin{align*} \psi(0) = \phi , \; \partial_t \psi(0) = - \mathrm{i} H \psi(0) = - \mathrm{i} H \phi . \end{align*} Tenga en cuenta que como un segundo orden de la ecuación, es necesario especificar no sólo los $\psi(0)$, sino también su tiempo-derivados como condición inicial. Por otra parte, para asegurarse de que lo que obtenemos es en realidad equivalente a la ecuación de Schrödinger, usted tiene que elegir un \emph{particular} condición inicial para $\partial_t \psi(0) = - \mathrm{i} H \phi$. Otras opciones que le dará otras ecuaciones, pero ninguno de ellos son equivalentes.

Como se puede ver, si usted elige una condición inicial que es compatible con la ecuación de Schrödinger, la soluciones de las propiedades habituales, e. g. la norma $\lVert \psi(t) \rVert = \lVert \psi(0) \rVert$. Pero para los genéricos opciones, esta no tiene que ser verdadero: pick $H = \sigma_3$, de modo que $H^2 = \mathbb{1}$. Entonces la ecuación de onda es simplemente \begin{align*} \frac{\partial^2}{\partial t^2} \left ( \begin{matrix} \psi_1(t) \\ \psi_2(t) \\ \end{de la matriz} \right ) + \left ( \begin{matrix} \psi_1(t) \\ \psi_2(t) \\ \end{de la matriz} \right ) = 0 , \end{align*} por lo tanto, dos copias de la habitual de la ecuación de onda. Las soluciones son \begin{align*} \psi(t) = c_- \, \mathrm{e}^{- \mathrm{i} t} + c_+ \, \mathrm{e}^{+ \mathrm{i} t} \end{align*} donde los coeficientes $c_{\pm} \in \mathbb{C}^2$ necesita ser determinado a partir de las condiciones iniciales. Ahora coger $\psi(0) = c_+ + c_- = (2,2)$ $\partial_t \psi(0) = (0,0) = \mathrm{i} (c_+ - c_-)$ como las condiciones iniciales. Que conduce a $c_- = c_+ = 1$, y por lo tanto \begin{align*} \psi(t) = 2 \cos t \, \left ( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ \end{de la matriz} \right ) , \end{align*} y la norma $\lVert \psi(t) \rvert = 2 \sqrt{2} \, |\cos t| $ de este vector evidentemente oscila en el tiempo y es, por tanto, no se conserva. Por la especial condición inicial $\partial_t \psi(0) = - \ii H \psi(0)$, sin embargo, la norma se conserva.