Utilice el Teorema de Convergencia Dominada para encontrar el límite de $\int n f(x) e^{-nx} \, dx$

Question

Estaba trabajando en una vieja práctica cual y me encontré con este problema. Tengo una solución, pero es bastante... enrevesada... y siento que debería haber una forma sencilla de usar el teorema de convergencia dominada para resolverlo. En fin, este es el problema:

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Dejemos que $f: [0,\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ sea integrable de Lebesgue y supongamos que $\lim_{x\rightarrow 0} f(x) = 2016$ . Demostrar que $$\lim_{n\rightarrow \infty} \int_0^\infty nf(x)e^{-nx} \, dx = 2016$$

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Si se cambian las variables, se obtiene que la integral es igual a $\int_0^\infty f(\frac{x}{n})e^{-x}\, dx$ y, por tanto, la afirmación es fácil de probar si se sabe que $f$ está acotado. En particular, si $f$ es continua con soporte compacto, el problema está resuelto. Sin embargo, a pesar de que podemos demostrar la afirmación para un subconjunto denso de $L^1$ no parece que se siga para todos $L^1$ (por lo que sé).

Pondré mi solución (sin usar directamente el DCT) en las respuestas porque es bastante larga.

Answer 1

Aquí está el detalle de mi comentario, como se pidió:

Suponemos que $c=\int_0^{\infty} |f(x)|dx<\infty$ . Arreglar $\epsilon>0$ y observe que $$\left| \int_{\epsilon}^{\infty} f(x)ne^{-nx}dx \right| \leq ne^{-n\epsilon}\int_{\epsilon}^{\infty} |f(x)|dx \leq ne^{-n\epsilon}c \rightarrow 0$$ donde el límite es como $n\rightarrow\infty$ . (También podría utilizar LDC para reclamar esto, como en mi primer comentario). Así pues $$ \int_0^{\infty} = \int_0^{\epsilon} + \int_{\epsilon}^{\infty} $$ y $\lim_{n\rightarrow\infty} \int_0^{\epsilon}$ puede ser acotado (en términos de $\epsilon$ ) de nuevo por métodos directos de tipo "sandwich".

Answer 2

Ampliar $f$ a $\mathbb{R}$ para que $f(-x) = f(x)$ para todos $x$ . Definir $g_n(x) = \frac{1}{2}ne^{-n|x|}$ para todos $x \in \mathbb{R}$ . Entonces, observe que

\begin{align*} (f*g_n)(0) &= \int_\mathbb{R} f(x) g_n(-x) \, dx\\ &= \frac{1}{2} \int_\mathbb{R} nf(x) e^{-n|x|} \, dx\\ &= \int_0^\infty n f(x) e^{-nx} \, dx \end{align*}

Así que lo que realmente queremos mostrar es que $\lim_{n\rightarrow \infty} (f*g_n)(0) = \lim_{x\rightarrow 0} f(x) = 2016$ .

Tenga en cuenta que porque $\lVert g_n\rVert_1 = 1$ para todos $n$ entonces para cualquier $y \in \mathbb{R}$ tenemos

\begin{align*} |(f*g_n)(y) - f(y)| &= \left|\int_\mathbb{R} (f(y-x) - f(y))g_n(x) \, dx\right|\\ &\leq \int_\mathbb{R} |f(y-x) - f(y)|g_n(x) \, dx \end{align*}

Denotando $f_x(y) = f(y-x)$ podemos integrar ambos lados de la ecuación anterior con respecto a $y$ y aplicar el teorema de Fubini (ya que el integrando es no negativo) para encontrar que

\begin{align*} \lVert f*g_n - f\rVert_1 &\leq \int_\mathbb{R} \lVert f_x - f \rVert_1 g_n(x) \, dx\\ &= \int_\mathbb{R} \lVert f_x - f \rVert_1 ng_1(nx) \, dx\\ &= \int_\mathbb{R} \lVert f_{x/n} - f \rVert_1 g_1(x) \, dx \end{align*}

Pero como el integrando está acotado por $2\lVert f\rVert g_1 \in L^1(\mathbb{R})$ ahora podemos aplicar el teorema de convergencia dominada para encontrar que $f*g_n$ converge a $f$ en el $L^1$ norma. En particular, tendremos $f*g_n(0) \rightarrow 2016$ que es lo que queríamos probar.