Pregunta de probabilidad para principiantes sobre la frase "el orden no importa"

Question

Esta es una pregunta tonta pero me ha estado molestando por un tiempo...

Un padre y su hijo están en una cafetería y cada uno hace una selección (al azar e independientemente) de una lista de $10$ diferentes platos de un menú. ¿Cuál es la probabilidad de que elijan platos diferentes?

Dejemos que $E$ en el caso de que elijan platos separados. Condicionemos que el padre pida primero (llamemos al evento $F$ ) entonces,

$$P(E) = P(E \mid F) P(F) + P(E \mid F^c) P(F^c)=\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{9}{10}\right)+\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{9}{10}\right) = \frac{9}{10}$$

Pregunta 1: No creo que se pueda decir que "el orden no importa" para este problema. Creo que el orden sí importa. ¿Es eso correcto?

Podrías decir "independientemente del orden para esta situación las probabilidades condicionales resultan ser simétricas", $P(E|F) = P(E|F^c) = 9/10$ y como la probabilidad del suceso condicionante es la mitad, la probabilidad del suceso en cuestión es igual a una sola de las probabilidades condicionales". Es decir $P(E) = P(E|F)$ . ¿Es esa la forma correcta de pensar en este problema?

---

Digamos que condiciono el plato pedido por la primera persona

$$\sum_{i=1}^{10} P(E \mid T=i)P(T=i) = \sum_{i=1}^{10} \frac{9}{10}\frac{1}{10} = 9/10$$

Pregunta 2: ¿Es esta la misma situación en la que "el orden sí importa" es que el $P(E)$ es igual a $P(E \mid T=i)P(T=i)$ sumado para todos $i$ si el padre o el hijo van primero?

Pregunta 3: Si el orden sí importa, ¿cómo cambia el problema si dices que los eligen exactamente al mismo tiempo? Gracias.

Answer 1

Podemos decir que el orden no afecta a la probabilidad. Por supuesto, el hecho de que el padre elija luego al hijo sería un experimento diferente de su opuesto. Padre e hijo son sólo etiquetas y no afectan a la probabilidad del suceso.

Si lo hacen simultáneamente, entonces hay $10\times 10 = 100$ diferentes resultados, con $10$ donde eligen el mismo plato. Así que $\frac{10}{100} = \frac{1}{10}$ de elegir el mismo plato, lo que equivale a $\frac{9}{10}$ de elegir diferentes.

Answer 2

No entiendo lo que está tratando de expresar.

Hay dos eventos separados: el padre elige un plato, y el hijo elige un plato.

No importa si lo hacen simultáneamente, o uno tras otro, la probabilidad es siempre $\frac9{10}$

Answer 3

¿Cuál es la probabilidad de que Padre e Hijo elijan el mismo plato? Para ello, tenemos que fijar un plato y luego comparar el otro. Digamos que sabemos lo que eligió el Padre, ahora la pregunta es básicamente Que el hijo elija un número del 1 al 10 y ver si es el número elegido por el Padre: $\frac{1}{10}$ oportunidad (y una $\frac{9}{10}$ posibilidad de elegir otra cosa).

No importa si el Hijo o el Padre "elige primero"; lo que importa aquí es que tomamos uno de los resultados como referencia, y luego comparamos el otro con él. Los resultados no varían si cambiamos el punto de referencia.