Duda sobre la evaluación de límites.

Question

¿Alguien puede decirme qué estoy haciendo mal aquí.

El límite establecido es de$$\lim_{x \to 0}\dfrac{xe^x-\ln(1+x)}{x²}$$

Método 1 (utilizando límites estándar)

$$= \ \ \ \ \dfrac{\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{xe^x}{x}-\lim_{x \to 0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}}{\displaystyle \lim_{x \to 0}x}$$

$$= \ \ \ \ \dfrac{\displaystyle \lim_{x \to 0}e^x-\lim_{x \to 0} 1}{\displaystyle \lim_{x \to 0}x}$$

$$= \ \ \ \ \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x-1}{x}$$

$$= \ \ \ \ 1$$

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Método 2 (usando la serie de Maclaurin )

$$\lim_{x \to 0}\dfrac{xe^x-\ln(1+x)}{x²}$$

$$= \ \ \ \ \dfrac{3}{2}$$

Incluso con la regla de L'Hospital llego $\dfrac{3}{2}$. Entonces, ¿qué hay de malo con el método 1.

Algunos límite de las propiedades de

Answer 1

Simplemente se describe el error.

Teorema. Si $\lim{x\to a}f(x)=l$ y $\lim{x\to a}g(x)=m$ y $m\ne0$, entonces $$ \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac {l} {m} $$

Esta es una afirmación correcta. Pero usted no puede aplicarla cuando no todas las hipótesis están satisfechos.

En su caso, $\lim_{x\to0}x=0$, así que el teorema no puede aplicarse.

¿Por qué no lo? Porque no se permite la división por $0$.

Answer 2

El siguiente paso

$$\lim{x \to 0}\dfrac{xe^x-\ln(1+x)}{x²}= \dfrac{\displaystyle \lim{x \to 0}\dfrac{xe^x}{x}-\lim{x \to 0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}}{\displaystyle \lim{x \to 0}x}$$

no está permitido puesto que conduce a una expresión indefinida $\frac 0 0$.

Ver también las relacionadas con

• Evaluar $ \lim_{x \to 0} \left( {\frac{1}{x^2}} - {\frac{1} {\sin^2 x} }\right) $
• Análisis de límites de problema cálculo (dime que estoy equivocado).

Answer 3

RESPUESTA ORIGINAL

Usted sólo puede hacer que en el método 1 cuando el límite existe. Desde que la ley de la operación aritmética sólo se aplica cuando el límite de cada término existe. Contraejemplo que podría ser su método 1.

La ACTUALIZACIÓN.

Que tipo de lectura errónea de la pregunta. El verdadero problema es que el $ \requieren{encerrar} \encerrar{horizontalstrike}{\text{límite es una forma indeterminada}} $ el denominador tiende a cero [gracias a @egreg]. Similar a lo que el OP ha usado, yo también podría escribir $$ \lim_{x\to 0} \frac {1-\cos(x)} {x^2} = \frac {\lim_{x\to 0}1 - \lim_{x \to 0} \cos(x) } {\lim_{x\to 0} x^2 }= \frac 00, $$ lo cual es absurdo.

Apéndices

Algunas conversaciones con @LoopBack & @HenryLee se publican aquí por conveniencia.

No veo por qué la expresión no puede ser dividido en varias partes, y si no hay casos cuando es posible? / / / ¿Quién dijo que $l,m$ debe ser real? Un ejemplo $$\lim_{x \to \infty} x²+x =+\infty,$$ here $ \ell$ and $m$ both are $\infty$.

$\lim_{x\to +\infty} x^2 - x^2 = 0$ pero $\lim_{x \to +\infty} x^2 -x = +\infty$, también se $\lim_n n - (-1)^n$ [Deje $g(x) = (-1)^{\lfloor x\rfloor} \lfloor x \rfloor, f(x) = \lfloor x \rfloor$], simplemente no existe. Es por ello que generalmente podemos dividir la expresión en dos partes sin justificación alguna. El tipo de $+\infty + (+\infty)$ podría ser aceptada, pero el problema es $(+\infty) - (+\infty)$. Además, yo no creo que los libros de texto permite a $\infty$ en el teorema que implican operaciones aritméticas.

Me puede dar un ejemplo donde $$\displaystyle \lim_{x \to c}f(x) + g(x) =\displaystyle \lim_{x \to c}f(x) +\displaystyle \lim_{x \to c} g(x)$$ and $\displaystyle \lim_{x \c}f(x) + g(x) $ is indeterminant whereas $\displaystyle \lim_{x \c}f(x) +\displaystyle \lim_{x \c} g(x)$ es no. Creo que no hay tal expresión. Entonces, ¿cuál es el uso de la propiedad no. 2 y 3

Si $\lim f, \lim g$ no es indeterminado (no incluidas $\infty$], entonces usted puede utilizar (ii)(iii). En virtud de (ii)(iii) $\lim(f\pm g)$ tampoco es indeterminado. (ii)(iii) son de ninguna manera inútil aquí.

ACTUALIZACIÓN 2

Mi terminología que estaba mal. La cosa importante es que $\lim f, \lim g$ existe, no sobre si $f,g$ es en forma indeterminada. Si nos hemos dividido en dos partes y dos de ellos están, por decir $0/0$-forma, pero ambos de ellos existe [de nuevo, no $\infty$] después de la investigación, entonces claramente la división de la operación se justifica. Mi punto es, lógicamente, que debemos verificar la existencia en primer lugar, a continuación, romper la expresión original en varias partes para manejar de acuerdo a la (ii) y (iii) [a pesar de que esto nunca significa hacer el proceso de forma cronológica, es decir, usted puede comprobar después de completar el cálculo].

Answer 4

$$\lim{x \to 0}\frac{xe^x-\ln(1+x)}{x^2}=\lim{x \to 0}\frac{xe^x}{x^2}-\lim{x \to 0}\frac{\ln(1+x)}{x^2}=\lim{x \to 0}\frac{e^x}{x}-\lim{x \to 0}\frac{\frac{1}{1+x}}{2x}=\lim{x \to 0}e^x-\lim{x \to 0}\frac{1}{2x+2x^2}=1-\lim{x \to 0}\frac{1}{2x+2x^2}$$

Este límite final parece infinito enfoque entonces la respuesta es $+\infty$ o $-\infty$ dependiendo de si utilizamos $0^+$ o $0^-$