El límite del dolor

Question

Tengo que encontrar el límite de la secuencia anterior.

En primer lugar, traté de multiplicar $n^3$, ya que tiene el mayor exponente. $$\lim_{n\to\infty}\frac{n^3-3}{2n^2+n-1} = \lim_{n\to\infty}\frac{n^3(1-\frac{3}{n^3})}{n^3(\frac{2}{n} + \frac{1}{n^2} - \frac{1}{n^3})} = \lim_{n\to\infty}\frac{1-\frac{3}{n^3}}{\frac{2}{n} + \frac{1}{n^2} - \frac{1}{n^3}}$$ $$ \begin{align} \lim_{n\to\infty}1-\frac{3}{n^3} = 1 \\[1ex] \lim_{n\to\infty}\frac{2}{n} + \frac{1}{n^2} - \frac{1}{n^3} = 0 \\[1ex] \lim_{n\to\infty}\frac{n^3-3}{2n^2+n-1} = \frac{1}{0} \end{align} $$

Luego, después de darse cuenta de $\frac{1}{0}$ podría no ser un posible límite, traté de multiplicar la variable con el mayor exponente en tanto el dividendo y el divisor.

$$\lim_{n\to\infty}\frac{n^3-3}{2n^2+n-1} = \lim_{n\to\infty}\frac{n^3(1 - \frac{3}{n^3})}{n^2(2 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^2})} = \lim_{n\to\infty}n\cdot\frac{1 - \frac{3}{n^3}}{2 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^2}}$$ $$ \begin{align} \lim_{n\to\infty}1-\frac{3}{n^3} = 1 \\ \lim_{n\to\infty}2 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^2} = 2 \\ \lim_{n\to\infty}\frac{n^3-3}{2n^2+n-1} = \frac{1}{2} \\ \lim_{n\to\infty}n = \infty \end{align} $$

Por lo tanto, mi pregunta acerca de este problema:

• Podría $\frac{1}{0}$ válido límite?
• Qué $\infty\cdot\frac{1}{2}$ igual a $\infty$?
• En conclusión, ¿cuál es el límite de la secuencia de arriba? $\infty?$

Gracias!

Answer 1

Podría $\frac{1}{0}$ válido límite?

Que debe hacer en su lugar :"Es la siguiente verdad?" $$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{f(n)}{g(n)} = 0$$ donde $\lim_{n \rightarrow \infty} f(n) = K $ donde $K$ es finito y $\lim_{n \rightarrow \infty} g(n) = +\infty$. La respuesta es sí. Esta es una de las reglas sobre el límite.

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Qué $\infty \frac{1}{2}$ igual a $\infty$? Que debe hacer en su lugar:"Es la siguiente verdad?" $$\lim_{n \rightarrow \infty} K f(n)= \infty$$ donde $K$ es finito y $\lim_{n \rightarrow \infty} f(n) = +\infty$. La respuesta es sí. Esta es una de las reglas sobre el límite.

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En conclusión, ¿cuál es el límite de la secuencia anterior?

Siguiendo los mismos pasos que hiciste, en ambos enfoques, no tengo nada que añadir. El límite es de $\infty$.

Answer 2

La segunda forma es preferible y ya que el producto "$\infty \cdot \frac12$" no es una forma indeterminada de aquí

$$\lim_{n\to\infty}n\cdot\frac{1 - \frac{3}{n^3}}{2 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^2}}$$

podemos concluir que la sucesión diverge.

Tenga en cuenta que con el primer método desde aquí

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1-\frac{3}{n^3}}{\frac{2}{n} + \frac{1}{n^2} - \frac{1}{n^3}}$$

ya que también "$\frac1 0$" no es una forma indeterminada, y el denominador es $>0$ podemos concluir que la secuencia se bifurca en $\infty$.

En ambos casos, lo que no podemos hacer es calcular por separado el límite de cada parte y, a continuación, hacer un cálculo directo (que permite sólo es la operación final bien definido).

Como una alternativa ya que, finalmente,

• $n^3-3\ge n^3-6n^2+9n \iff6n^2-9n-3\ge 0$
• $2n^2+n-1 \le 4n^2-24n+36\iff2n^2-25n+35 \ge 0$

por el teorema del sándwich tenemos

$$\frac{n^3-3}{2n^2+n-1} \ge\frac{n^3-6n^2+9n}{4n^2-24n+36}=\frac{n(n-3)^2}{4(n-3)^2}=\frac n 4 \to \infty$$

Answer 3

Admiro tus esfuerzos, otro enfoque es $$ \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {n ^ 3-3} {2n ^ 2 + n-1} = \ lim_ {n \ to \ infty} \ left ( \ frac12n- \ frac14 + \ dfrac {\ frac34n - \ frac {13} {4}} {2n ^ 2 + n-1} \ right) = \ infty $$

Answer 4

Por lo tanto, mi pregunta acerca de este problema:

• Podría $\frac{1}{0}$ válido límite?

No, desde la $\frac10$ no está definido.

• Qué $\infty\cdot\frac{1}{2}$ igual a $\infty$?

Hay el extendido "números reales" $\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}$

Donde se puede definir esto. Nota, que $\infty$ es, en general, no es un número. Por lo que no puede hacer algunos cálculos con él. Usted puede comprobar fuera de: https://en.wikipedia.org/wiki/Extended_real_number_line

Para obtener más información.

• En conclusión, ¿cuál es el límite de la secuencia de arriba? $\infty?$

Sí, el límite es de $\infty$. O en otras palabras, la secuencia no convergen.

Answer 5

• No, no es válido, no está definido. Considere dos secuencias:$(a_n)_{n\in\mathbb{N}} = \frac{1}{2^{-n}}$ y$(b_n)_{n\in\mathbb{N}} = \frac{1}{-2^{-n}}$. Se podría decir que el límite de ambos es$\frac{1}{0}$, ya que$\pm2^{-n} \to 0$, pero ¿tiene sentido esto? ¿Estas secuencias tienen el mismo límite?
• Decir que$\infty\cdot\frac{1}{2} = \infty$ no es muy preciso, pero tu intuición es buena. En general, para cualquier secuencia$(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ divergente a$+\infty$ y para cualquier$x>0$, tiene$\lim_{n\to\infty} x\cdot a_n = +\infty$. ¿Qué pasa para$x < 0$?
• Es $+\infty$.