¿Cómo utilizar teorema abierto en este caso?

Question

Si he a $X,Y$ espacios de Banach y $T : X \to Y$ lineal y surjective mapa, a continuación, $T$ es una carta abierta. Quiero demostrar que si $(y_n)$ es un almacén de secuencia en $Y$ entonces existe una secuencia delimitada $(x_n)$ $X$ tal que $T(x_n) = y_n$. Quiero esto porque estoy tratando de demostrar que si $y_n \to 0$ entonces existe una secuencia $(x_n)$ $X$ que converge a $0$ $T(x_n) = y_n.$

Desde $T$ es surjective, claramente existe $(x_n) \in X$ tal que $T(x_n) = y_n$. Esto es fácil. Una vez $(y_n)$ está delimitada se encuentra en una bola para un radio lo suficientemente grande. Así que, ¿cómo puedo encontrar un balón en $X$ tal que $(x_n)$ se encuentra en una pelota? El radio de dicha bola debe estar relacionado con el radio de la bola que contiene $(y_n)$ de alguna manera. ¿Cómo puedo hacer esto? Es, obviamente, abrir mapa teorema, pero ¿cómo?

Answer 1

Sugerencia: Dejar $B$ ser la bola unidad abierta de $X$. Por el teorema abierto, $T(B)$ contiene una bola abierta centrada en el origen de $Y$. Por escala, usted puede encontrar una bola lo suficientemente grande $B'$ $X$ tal que $T(B')$ contiene una bola que contiene todos los $y_n$. Se puede escoger todos los $x_n$ en $B'$.