Unidades en anillos de cociente

Question

Permita que$I$ y$J$ sean ideales de un anillo$R=\mathbb{K}[X_1, \dots, X_m]/K$, cociente de un anillo de polinomios sobre un campo$\mathbb{K}$.

Considere el mapa $$ \begin{aligned} (R/I)^*\oplus (R/J)^*&\longrightarrow (R/(I+J))^*\\ (r, s)&\longmapsto (r\cdot s^{-1}) \end {aligned} $$ donde$(R/I)^*$ son las unidades del anillo del cociente.

¿Es este mapa surjective, en esta generalidad?
Si es así, ¿puedes señalar una referencia o decirme por qué esto debería ser trivial?
Si no, ¿puedes dar un contraejemplo?

Answer 1

Si le hubieras preguntado a la pregunta sobre cualquier campo y no específicamente $\mathbb{K}$ (que he leído como $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$) tendría la siguiente respuesta:

Tomar $R= \mathbb{Q}[X,Y]$, $I=(X^2-2)$, $J=(Y^2-3)$. A continuación, en $R/(I+J)=\mathbb{Q}[\sqrt 2, \sqrt 3]$ tenemos $(Y-X)(Y+X)=Y^2-X^2=1$. Es imposible (en $R/(I+J)$) para escribir $Y-X$ como el producto de dos polinomios de que uno está solo en $X$, y el otro sólo en $Y$, por lo que no está en la imagen.

Para el caso de que usted publicado tengo la siguiente idea similar:

Considere la posibilidad de $R=\mathbb{C}[X,Y,Z,W]$, $I=(XY-1)$, $J=(ZW-1,XW+YZ)$.

A continuación, en $R/(I+J)$ tenemos $(X+Z)\frac{Y+W}{2} = \frac{XY+XW+YZ+ZW}{2}=1$ pero en ninguno de $R/I$ ni $R/J$ el elemento $X+Z$ puede ser una unidad.

Hasta que alguien puede hacer claro el por qué de $X+Z$ no es un factor en los elementos, que son las unidades en los respectivos anillos de esta respuesta es, sin embargo, sólo parcial.