En caso de que la notación $\int_{0}^{x} f(x) dx$ ¿se ve con malos ojos?

Question

En los viejos libros de matemáticas, veo muchas notaciones como $\int_{0}^{x} f(x) dx$ . Por ejemplo, Courant-Hilbert: Methods of mathematical physics. Sin embargo, cuando lo escribí en este sitio, a veces se editaba como $\int_{0}^{x} f(t) dt$ .

Answer 1

Durante el verano se me ocurrió un ejercicio para el tipo de personas que les gusta escribir $\int_0^x f(x) \, dx$ : evaluar

$$\int_1^x \int_x^{x^2} \int_{x^2}^{x^3} x^4 x^5 x^6 \, dx \, dx \, dx.$$

Espero que mi punto de vista sea claro.

Answer 2

Obsérvese que hay dos tipos diferentes de $x$ 's en $\int_{0}^{x} f(x) dx$ que se hace explícito cuando se cambia a $t$ . Uno es el límite superior de la integración, que sigue siendo libre, y el otro es la variable ficticia delimitada dentro de la integral. En una lectura cuidadosa se pueden distinguir, pero es más fácil para el lector y menos propenso a errores distinguirlos.

Answer 3

Esto es erróneo porque no permitiría (sin confusión) algo como esto:

$$\int_0^x f(t, x)\ dt$$

La variable de integración (o de suma cuando se hacen sumas) siempre debe diferir de todas las demás variables porque, utilizando expresiones que recuerdo (posiblemente incorrectas) de mi juventud las otras variables están "ligadas" (el $x$ arriba) y la variable de integración es "libre", de modo que la expresión no se modifica si la variable se sustituye por otra.

Por ejemplo, ¿qué le parecería esto?

$$\int_0^x \int_0^x f(x,x)\ dx\ dx$$

en lugar de esto:

$$\int_0^u \int_0^y f(x,y)\ dx\ dy$$

Answer 4

Si escribe $\int_0^x f(x)\,dx$ , usted tiene dos diferentes $x$ s. Una tiene alcance dentro de la integral, la otra fuera. El término "ámbito" es algo extraño en el mundo matemático, pero significa "donde la variable tiene significado".

En este caso es mucho mejor escribir $\int_0^x f(t)\,dt$ la variable $t$ es una "variable de bucle" o marcador de posición.

Answer 5

$\int_0^x f(t) \,dt$

es una expresión que, por su definición límite, es básicamente la suma de un número infinito de áreas de piezas rectangulares de anchura y altura infinitesimales $f(t)$ para cada valor de $t$ entre $0$ y $x$ . Así, si escribimos

$\int_0^x f(x) \,dx$

en cambio, significaría sumar las áreas de estos rectángulos como el valor de $x$ oscila entre $0$ a $x$ . Esperemos que quede claro que esto no tiene sentido. $x$ no puede variar y permanecer constante simultáneamente.