Cuando digo que $[0,1]/_\sim$ es el círculo, ¿tengo que demostrarlo o es obvio?

Question

He visto en la wikipedia que la topología cociente no se comporta bien en el sentido de que $X$ puede ser metrizable, haussdorf... pero $X/_{\!\sim}$ no. Podemos ver que el pegado $0$ y $1$ en el segmento $[0,1]$ da el círculo. Pero, ¿realmente tengo que demostrarlo o dicha construcción es clara al visualizarla? Lo mismo si tomo $[0,1]\times [0,1]$ y pego todos los puntos de la frontera en uno, nosotros " véase " que va a ser la esfera $\mathbb S^2$ . ¿Tengo que demostrarlo rigurosamente, o no es realmente necesario?

Lo pregunto porque en los apuntes de un curso sobre colectores que estoy leyendo, el profesor dice siempre : "vemos que pegar $A$ y $B$ da toro, o esfera o cualquier figura geométrica", pero no lo demuestra rigurosamente. Ayer le envié un correo electrónico y me dijo que ese argumento es suficiente para identificar las cosas. ¿Es realmente así? Es decir, si el cociente no se comporta bien, hay que demostrar rigurosamente que esa identificación da la esfera o el toro (o cualquier otra cosa), ¿no?

¿Puede alguien darme un ejemplo en el que esperemos que un cociente $X/_\sim$ que será una cifra específica, pero de hecho no será ?

Answer 1

Creo que, tal vez, no estás entendiendo por qué probarías o no que la construcción de pegado da la forma deseada. Intuitivamente tenemos una idea de cómo es la operación de pegado: si te doy un intervalo, y te digo que pegues los dos puntos extremos, entonces sabes que el resultado debe sea el círculo. Si te doy un cuadrado y te digo que identifiques dos lados opuestos en direcciones opuestas, ya sabes el resultado debe sea la banda de Möbius.

Sin embargo, la "operación de encolado" es una operación matemática abstracta, aplicada sobre un objeto (una topología) que a menudo es contraproducente.

Así, si la construcción del círculo o de la banda de Möbius falla, no es porque hayamos predicho mal cuál debe ser la forma resultante, sino porque la operación de pegado es errónea. El sentido de probar desde el principio algunos ejemplos del efecto de la operación de encolado -en un momento dado demostré en una clase de topología introductoria que identificando los puntos finales de un intervalo se obtiene realmente un círculo- es convencerse de que la operación de encolado es realmente lo que promete ser. Después de hacer unos cuantos, te das cuenta de que la construcción va siempre igual, y confías en que irá igual con cualquier otro ejemplo pictórico.

Answer 2

Ser "obvio" es siempre una evaluación subjetiva, al igual que ser "trivial". Depende de tus conocimientos y de tu experiencia. Para un principiante habrá menos cosas obvias que para una persona que lleva muchos años en las matemáticas.

Decir que algo es obvio puede tener varias razones, por ejemplo

(1) Es un resultado conocido que se ha demostrado explícitamente, pero la demostración es muy sencilla, de modo que prácticamente todo el mundo puede resolverlo.

(2) Es muy similar a algo que usted sabe que es cierto, y sabe que se aplican los métodos probados. Se trata de la experiencia profesional.

Por supuesto, también existe el peligro de dar algo por obvio: el diablo puede estar en los detalles, y la experiencia profesional puede fallar. Estoy seguro de que la literatura contiene numerosos ejemplos de pruebas erróneas (o incluso de resultados erróneos) que tienen su origen en la sensación de obviedad.

Volvamos de la filosofía a sus ejemplos relativos al "pegado". Esto es definitivamente la categoría (1). Otros ejemplos son afirmaciones como "un círculo es homeomorfo a un cuadrado", "una taza de té es homeomorfa a un toroide sólido", etc.

Como dijo Mees de Vries en su respuesta, si se elaboran explícitamente algunos de estos ejemplos, se desarrollará una comprensión de lo que ocurre y se terminará con la sentencia "Sí, es obvio".