El máximo es de $\frac{3}{7}$, dado por $c_1 = c_2 = c_4 = c_8 = c_{16} = c_{32} = c_{64} = \frac{1}{7}$ y todos los demás $c_i = 0$.
Ahora una prueba. Reemplace $100$ con una constante arbitraria $N$. Estamos maximizando la función de $f: \mathbb{R}^{N} \to \mathbb{R}$ $$f(x_1, \ldots, x_N) = \sum_{\substack{1 \leq m < n \leq N} \\ \text{$m$ divides $n$}} x_m x_n$$ subject to the constraints $(\forall i) x_i \geq 0$ and $\sum_{i=1}^N x_i = 1$.
Lema. Deje $(x_1, \ldots, x_N) \in \mathbb{R}^N$ ser arbitraria. Deje $\pi(n)$ ser la suma de los exponentes en la factorización prima de $n$. (Por ejemplo, $\pi(180) = \pi(2^2 3^2 5) = 2^{2+2+1} = 64.$ tenga en cuenta que $2^{\pi(n)} < n$.) Deje $\pi^{-1}(k)$ denota el conjunto de números enteros $n \leq N$ tal que $\pi(n) = k$. Por último, defina $y_1, \ldots, y_N$ como sigue: si $n = 2^k$,$y_n = \sum_{i \in \pi^{-1}(k)} x_i$; de lo contrario, $y_n = 0$. A continuación,$f(x_1, \ldots, x_N) \leq f(y_1, \ldots, y_N)$.
Prueba. Deje $K = \left\lfloor \log_2 N\right\rfloor = \max_{1 \leq n \leq N} \pi(n)$. Tenga en cuenta que $\pi(m) < \pi(n)$ es una condición necesaria, pero no suficiente, condición para $m$ a dividir una clara entero $n$. Entonces:
\begin{align*} f(y_1, \ldots, y_N) &= \sum_{\substack{1 \leq m < n \leq N \\ \text{%#%#% divides %#%#%}}} y_m y_n \tag{definition of %#%#%} \\
&= \sum_{0 \leq k < \ell \leq K} y_{2^k} y_{2^\ell} \tag{%#%#% unless %#%#% is a power of %#%#%} \\
&= \sum_{0 \leq k < \ell \leq K} \left[\left( \sum_{i \in \pi^{-1} (k)} x_i\right) \left( \sum_{j \in \pi^{-1} (\ell)} x_j\right) \right]\tag{definition of %#%#%} \\
&= \sum_{0 \leq k < \ell \leq K} \sum_{\substack{i \in \pi^{-1}(k) \\ j \in \pi^{-1}(\ell)}} x_i x_j \tag{simple rearrangement}\\
&\geq \sum_{0 \leq k < \ell \leq K}\sum_{\substack{i \in \pi^{-1}(k) \\ j \in \pi^{-1}(\ell) \\ \text{%#%#% divides %#%#%}}} x_i x_j\tag{fewer terms in inner sum} \\
&= \sum_{\substack{1 \leq i < j \leq N \\ \text{%#%#% divides %#%#%}}} x_i x_j\tag{double sum includes every possible %#%#% pair once} \\
&= f(x_1, \ldots, x_N). \tag{definition of %#%#%}\\
\end{align*}
Así que si $m$ tiene un máximo de $n$, el máximo debe tener $f$, excepto donde se $y_n = 0$ es una potencia de $n$. Para mostrar que $2$ tiene un máximo, simplemente se nota que es cóncava y la región de $y_i$ permitido por las restricciones es convexo. QED.
La idea esencial de que el lema es este: Supongamos que, por ejemplo, $i$ son todos distintos de cero. A continuación, los únicos términos que contribuyen a $j$$i$$j$. Pero si definimos $(i, j)$$f$, $f$ término incluye a $(c_1, \ldots, c_N)$$c_n = 0$, sino que también incluye a $n$$2$.
Hemos reducido la pregunta a la maximización de la $f$$\mathbb{R}^N$(\forall i) x_i \geq 0$x_2, x_3, x_4, x_9$\sum_{i = 1}^{K+1} x_i = 1$f(x_1, \ldots, x_N)$x_i$x_2 x_4$x_{2^i}$x_3 x_9$x_1 = \cdots = x_{K+1} = \frac{1}{K+1}$y_2 = x_2 + x_3$g$y_4 = x_4 + x_9$\{i, j\}$y_2 y_4$g$x_2 x_4$(x_1, x_2, \ldots, x_{K+1})$x_3 x_9$x_i \neq x_j$x_2 x_9$x_i$x_3 x_4$x_j$$g(x_1, \ldots, x_{K+1}) = \sum_{1 \leq i < j \leq K+1} x_i x_j$g$ subject to the constraints $g$ and $f$. (Here, $$ corresponds to the old $$.) To see that the maximum here is given by $N = 100$. suffices to note that $K = 6$ is concave and symmetric (as every unordered pair $\frac{3}{7}$.
