Flujo de fluidos: La fuerza que actúa sobre el fluido y la ecuación de Navier-Stokes

Question

Consideremos un flujo de fluido unidimensional en un tubo rectangular. Las corrientes típicas son las corrientes de Poiseuille. Consideremos el caso en el que aplicamos una fuerza sobre el fluido. La ecuación de Navier-Stokes (para fluidos incompresibles) es formalmente: $$ \rho_f \frac{d \vec{v}}{dt}=-\nabla p+\rho_f \vec{f}+\eta \nabla^2 \vec{v}$$ El flujo es $1D$ Así que..: $\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}=\frac{d \vec{v}}{dt}$ . Consideremos el flujo invisible: $\eta=0$ . $$ \rho_f \frac{\partial \vec{v}}{\partial t}=-\nabla p+\rho_f \vec{f}$$
Las longitudes a lo largo del tubo se denotan por $s$ . Apliquemos la fuerza: $$\vec{f}=q\sin s.\hat{s}$$ Donde $q$ es sólo una constante para que coincida con las unidades adecuadas de fuerza por kg y $\hat{s}$ el vector unitario en el positivo $s$ dirección. No tenemos una diferencia de presión por lo que la ecuación del movimiento se reduce a: $$ \rho_f \frac{\partial \vec{v}}{\partial t}=\rho_f q\sin s.\hat{s}$$ tomando el producto punto con $\hat{s}$ : $$ \frac{\partial v}{\partial t}= q\sin s$$ Donde $\vec{v} \cdot\hat{s}=v $ Así que: $$v(t,s) = qt \sin s$$ La velocidad en las otras direcciones es $0$ . Así que tenemos una incoherencia con la ecuación de continuidad: $$\nabla \cdot \vec{v} = \frac{\partial v}{ds}=qt \cos s \neq 0$$ ¿Cómo es posible? ¿La suposición de incompresibilidad es incorrecta? ¿Tal vez haya una presión debida a la fuerza?

Para ir un poco más allá:
Consideremos el caso en que el tubo está cerrado como un toroide. hay efectos viscosos y existe una fuerza no conservativa. además el fluido es incompresible. ¿Qué ecuación describe el movimiento de este problema? La ecuación de Navier-Stokes anterior da una contradicción.

Gracias.

Answer 1

Coincido con el usuario3823992 en que fue incorrecto despreciar el diferencial de presión. Con la fuerza del cuerpo constante y sinusoidal que se da, es básicamente un problema de hidrostática con el diferencial de presión equilibrando la fuerza del cuerpo. Considera la ecuación de momento de Navier-Stokes:

$$ \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}+(\mathbf{v} \cdot \nabla)\mathbf{v}=-\frac{\nabla p}{\rho}+\mathbf{f} +\nu \nabla^2 \mathbf{v} $$

Si suponemos que la velocidad $\mathbf{v}$ es cero entonces se reduce al caso hidrostático, donde:

$$ \frac{\nabla p}{\rho}=\mathbf{f} $$

$\mathbf{f}$ sólo tiene una componente en la dirección s, por lo que también $\nabla p$ :

$$ \begin{eqnarray*} \frac{dp}{ds} \cdot \hat s&=&\rho q \sin(s) \cdot \hat s\\ \int_{p_0}^pdp&=&\rho q \int_0^s \sin(s) ds\\ p-p_0&=&\rho q (1- \cos (s)) \end{eqnarray*} $$

( $p_0$ es sólo una presión de referencia arbitraria que puede estar presente antes de la aplicación de la fuerza).

$\mathbf{v}=0$ obviamente satisface la ecuación de continuidad, aunque creo que cualquier otra solución con una constante $\mathbf{v}$ también satisfaría la ecuación. Esto sería simplemente el movimiento del fluido a granel que estaba presente antes de la aplicación de la fuerza, y tendería a cero en estado estacionario si se incluye el arrastre viscoso en las paredes.

En el caso de que el tubo esté cerrado como un toro, el flujo sigue rigiéndose por las ecuaciones de Navier-Stokes. La ecuación de momento en coordenadas polares (r, $\theta$ z) puede reducirse a:

$$ \begin{eqnarray*} \theta: f_\theta&=&-\nu (\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}(r \frac{\partial V_\theta}{\partial r})+\frac{\partial^2 V_\theta}{\partial z^2}-\frac{V_\theta}{r^2})\\ r: \frac{\partial p}{\partial r}&=&\rho \frac{V^2_\theta}{r} \end{eqnarray*} $$

El único componente de la velocidad está en el $\theta$ (circunferencial). La primera línea es la fuerza del cuerpo equilibrada por la fricción de la pared y la $\frac{\partial p}{\partial r}$ en la segunda línea es necesaria para proporcionar la fuerza centrípeta para las líneas de corriente curvas. Sin embargo, ahora se trata de una EDP bidimensional y creo que es bastante improbable que puedas integrar o encontrar una función simple que la satisfaga - para encontrar el perfil de velocidad probablemente tendrías que recurrir al CFD en este punto.

La ecuación de Poiseuille tiene una solución agradable y sencilla porque es axisimétrica y efectivamente unidimensional.

Answer 2

Hola @abcdef este es un problema muy interesante

A día de hoy no (general) analítica solución para las ecuaciones NS ha sido encontrada, de hecho todos oiríamos hablar de ella, ya que vale un millón de dólares (ver Premio del Milenio ).

Y, aunque no se ha demostrado, hay muchas pruebas de que las ecuaciones NS hacer describen el movimiento del fluido siempre que la longitud del camino libre entre las moléculas del fluido sea lo suficientemente pequeña como para que se pueda tratar como un continuo.

En casos especiales, es decir, conjuntos de problemas que permiten simplificaciones (como el flujo invisible o incompresible) se pueden encontrar soluciones a las ecuaciones NS. Hay que señalar aquí que esas simplificaciones introducen un error en el resultado del cálculo. Sin embargo, este error suele ser lo suficientemente pequeño como para ser despreciable (por ejemplo, la incompresibilidad para $M\ll0.3$ ) o se puede modelizar el error y reducir su influencia (por ejemplo, se puede modelizar la pérdida de carga/presión suponiendo $\Delta p_{t} = f\left(p_{dyn}\right)$ )

La pregunta contiene algunas simplificaciones

1. 1D-Flow
2. flujo incompresible
3. flujo invisible
4. no hay diferencia de presión
5. un gas atómico

A partir de estas simplificaciones no se puede encontrar ninguna solución física. Lo que significa básicamente que una o varias de las simplificaciones no son justificables. Esto no significa que las ecuaciones NS no describan o no puedan describir este flujo.

Como ya se ha señalado en otras respuestas [1], descuidar o evitar una diferencia de presión podría ser el principal problema.

Suponiendo amplitudes muy pequeñas ( $\,q\,$ ) de la fuerza la diferencia de presión podría jugar un papel menor. Sin embargo, al despreciar los posibles efectos de la viscosidad se desequilibran las ecuaciones NS. Ya que la idea básica de las ecuaciones NS es que el momento está equilibrado.

Parece como si no existiera simple La solución a este problema y un enfoque iterativo deben ser probados con el fin de equilibrar la presión, las fuerzas del cuerpo, y las velocidades. Dependiendo de la aplicación real de estos flujos, también podría ser necesario reconsiderar la hipótesis de los gases monoatómicos.

[1]: Comentarios de @user3823992