Dos ideales con igualdad radical en un anillo noetheriano

Question

Que $A$ ser un anillo noetheriano conmutativo con dos ideales $I,J$ tal que $\sqrt{I}=\sqrt{J}$. Siempre existen enteros $p,q,r$ tal que

$$ ¿I ^ p \subset J ^ q \subset I ^ r? $$

Answer 1

% Toque $\ $cada ideal contiene un poder de su radical en un anillo noetheriano. Esta propiedad básica es familiar para cualquier persona que ha estudiado la descomposición primaria de ideales en anillos noetheriano. La prueba puede ser abstraída hacia fuera de la prueba en la respuesta de Arturo.

Answer 2

Desde $A$ es noetherian, $I$ $J$ son finitely generado, digamos $$\begin{align*} I &= (a_1,\ldots,a_n)\\ J &= (b_1,\ldots,b_m). \end{align*}$$

Tenga en cuenta que $J^r$ es generado por todos los elementos de la forma $$b_1^{\beta_1}\cdots b_m^{\beta_m}$$ donde $\beta_i\geq 0$ son enteros y $\beta_1+\cdots+\beta_m=r$.

Desde $J\subseteq \sqrt{J}=\sqrt{I}$, para cada una de las $b_j$ existe $k_j$ tal que $b_j^{k_j}\in I$. Dejando $k=\max\{k_1,\ldots,k_m\}$,$b_j^k\in I$$j=1,\ldots,m$. Dejando $q=m(k-1)+1$, llegamos a la conclusión de que todos los generadores de $J^q$ descrito como más arriba se encuentra en $I$, lo $J^q\subseteq I$.

Ahora note que $\sqrt{J^q} = \sqrt{J}$, de manera que al aplicar el argumento de a $I$ $J^q$ llegamos a la conclusión de que no existe $p$ tal que $I^p\subseteq J^q$.

Por lo tanto, si $A$ es conmutativa noetherian, y $I$ $J$ son ideales tal que $\sqrt{I}=\sqrt{J}$, entonces no existen números enteros $p$ $q$ tal que $I^p\subseteq J^q \subseteq I$.