transformación de Laplace

Question

¿Alguien puede ayudarme a obtener esta transformada de Laplace, $$ L [(f '' (x)) ^ n] $$ donde$f'(0)=0$ y$f''(0)=0$ y$n$ es poder de% #% ps

Answer 1

Sugerencia : use la integración por partes.

Vea aquí para una solución completa.

Answer 2

Creo que no es lo suficientemente simple como la forma cerrada (es decir, el caso de $f''(x)^{10}$ sería una sucesión de integrales de los productos y sumas de las potencias de todos los derivados de $10$ $0$(la función original).

Integrando por partes se tiene:

$$\mathcal{L}\left\{ {f{{\left( t \right)}^n}} \right\} = \frac{{f{{\left( 0 \right)}^n}}}{s} + \frac{n}{s}\int\limits_0^\infty {{e^{ - st}}f{{\left( t \right)}^{n - 1}}f'\left( t \right)dt} $$

Pero entonces tendría una nueva fórmula para

$$\mathcal{L}\left\{ {f{{\left( t \right)}^{n - 1}}f'\left( t \right)} \right\}\left( s \right)$$

Que sería, si no me equivoco

$$L\left\{ {f{{\left( t \right)}^{n - 1}}f'\left( t \right)} \right\}\left( s \right) = \frac{1}{s}f{\left( 0 \right)^{n - 1}}f'\left( 0 \right) + \frac{{n - 1}}{s}L\left\{ {f{{\left( t \right)}^{n - 2}}f'{{\left( t \right)}^2}} \right\}\left( s \right) + \frac{1}{s}L\left\{ {f{{\left( t \right)}^{n - 1}}f''\left( t \right)} \right\}\left( s \right)$$

Y ahora iba a necesitar uno para los dos nuevos argumentos. La recursividad sería bastante caótico.

EDITADO: no leer la pregunta correctamente.