Ceros del exponencial

Question

Sólo quiero estar seguro de si la función $f(z)=e^{-iz}, z\in \mathbb C$ ¿ no tiene ceros complejos o reales?

Answer 1

$e^{-iz}=e^{-ia+b}=e^{-ia}e^{b}$ por lo que si es igual a $0$ entonces $e^{-ia}$ debe ser cero, ya que sabemos que $e^{b}$ nunca es cero cuando $b$ es real (¡grafícalo en tu calculadora si no quieres demostrarlo!). Así que tenemos que $\frac{1}{e^{ia}}=0$ que es imposible.

Answer 2

$f(x+iy)=e^{-ix+y}=e^{y}(\cos(x)-i\sin(x))$

Para que $f(z)=0$ necesitas

$$e^y\cos(x)=0 \,,$$ y $$e^y\sin(x)=0 \,.$$

Puede ver fácilmente por qué no es posible.

Answer 3

Eso es correcto.

Dado que ambos $e^z$ y $e^{-z}$ están enteras, no tienen polos. Como son recíprocos entre sí, se deduce que no tienen ceros.

Espero que eso ayude,

Answer 4

$\exp(z) \cdot \exp(-z) = \exp(z - z) = \exp(0) = 1$ Así que $\exp(z) = 0 \implies \frac{1}{\exp(-z)} = 0$