Gromov-Hausdorff convergencia a un círculo

Question

Estoy trabajando en el libro Un curso de geometría métrica escrito por D. Burago, Y. Burago y S. Ivanov, y más precisamente en la prueba 7.5.9:

Prueba: Vamos a $\{X_n\}$ ser una secuencia de longitud compacta espacios, $X_n \underset{GH}{\to} S^1$. Demostrar que, para todo lo suficientemente grande como $n$, los espacios de $X_n$ no son simplemente conectado.

De hecho, he resuelto de la siguiente prueba que implica que existe un surjective de morfismos $$\pi_1(X_n) \twoheadrightarrow \pi_1(S^1) \simeq \mathbb{Z}$$ for large enough $n$. Therefore, $\pi_1(X_n)$ cannot be trivial. However, I would like to solve it using the given hint: it is not difficult to find continuous $\epsilon_n$-isometries $f_n : S^1 \a X_n$ satisfying $\epsilon_n \a 0$, and now I have to show that the loop associated to $f_n$ is not contractible in $X_n$ for large enough $$n.

Visualmente, parece ser obvio, pero no he encontrado un buen método para hacer esto. ¿Tiene usted alguna sugerencia?

Answer 1

Esta pregunta ha sido molesto conmigo por un buen rato. Me decidí a echar un vistazo a Un curso de geometría métrica, y resulta que sus indicaciones son un poco engañosos. La sugerencia se refiere a la Pregunta 7.5.8, en el que se muestra que:

Existe una secuencia continua de mapas de $f_n : \ X_n \to \mathbb{S}_1$ y una secuencia $(\varepsilon_n)$ $\lim_{n \to + \infty} \varepsilon_n = 0$ de manera tal que cada una de las $f_n$ $\varepsilon_n$- isometría,

Esto es conveniente, porque empuja hacia adelante bucles es fácil.

Deje $(f_n)$ $(\varepsilon_n)$ ser como el anterior. Deje $n \geq 0$ $N > 0$ ser números enteros. Denotar por $\mathbb{U}_N$ el conjunto de $N$th raíces de la unidad. Desde $f_n (X_n)$ debe ser un $\varepsilon_n$-netos en $\mathbb{S}_1$, podemos encontrar una secuencia $(x_{n, k})_{k \in \mathbb{Z} / N \mathbb{Z}}$ tal que $d(f_n(x_{n,k}), e^{2\pi i \frac{k}{N}}) \leq \varepsilon_n$ todos los $k$.

Desde $f_n$ $\varepsilon_n$- isometría, para todos los $k \in \mathbb{Z} / N \mathbb{Z}$,

$$d(x_{n, k}, x_{n, k+1}) \leq 2 \varepsilon_n + \frac{2\pi}{N}.$$

Pero $X_n$ es un largo espacio, para que podamos encontrar una curva de longitud en la mayoría de las $2 \varepsilon_n + 2\pi/N$ entre esos dos puntos. Mediante la concatenación de todos estos $N$ curvas, se obtiene un mapa de $g_n : \ \mathbb{S}_1 \to X_n$ tal que $g_n (x_{n,k}) = e^{2\pi i \frac{k}{N}}$ todos los $k$. Además, vamos a $x$, $y$ estar en $\mathbb{S}_1$. Deje $e^{2\pi i \frac{k}{N}}$ $e^{2\pi i \frac{k'}{N}}$ ser uno de los más cercanos elemento de $\mathbb{U}_N$ $x$ $y$ respectivamente. Entonces:

$$|d(g_n(x), g_n(y)) - d(x,y)| \leq d(g_n(x), x_{n, k})+d(x_{n, k'}, g_n(y)) + |d(x_{n, k}, x_{n, k'}) - d(x,y)|$$

$$|d(g_n(x), g_n(y)) - d(x,y)| \leq 4 \varepsilon_n + \frac{4\pi}{N} + |d(x_{n, k}, x_{n, k'}) - d(x,y)|,$$

y:

$$|d(x_{n, k}, x_{n, k'}) - d(x,y)| \leq d(x, e^{2\pi i \frac{k}{N}}) + d( e^{2\pi i \frac{k'}{N}}, y) + | d(x_{n, k}, x_{n, k'}) - d(e^{2\pi i \frac{k}{N}},e^{2\pi i \frac{k'}{N}})|$$

$$|d(x_{n, k}, x_{n, k'}) - d(x,y)| \leq \frac{2 \pi}{N} + | d(x_{n, k}, x_{n, k'}) - d(f_n(x_{n, k}),f_n(x_{n, k'}))|$$

$$|d(x_{n, k}, x_{n, k'}) - d(x,y)| \leq \frac{2 \pi}{N} + \varepsilon_n.$$

Por lo tanto, $g_n$ $5 \varepsilon_n + 6\pi/N$- isometría en su imagen. Este es el cuasi-ascensor queríamos construir.

Deje $\delta \in (0, 1/3)$. Para todos lo suficientemente grande como $n$, puedo encontrar $N$ tal que $g_n$ $\delta$- isometría en su imagen y $f_n$ $\delta$- isometría, y $2\pi/n < \delta$. A continuación, $f_n \circ g_n$ $2\delta$- isometría de $\mathbb{S}_1$ a sí mismo. Desde $f_n \circ g_n$ mapas de $\mathbb{U}_N$ a sí mismo,

$$\|f_n\circ g_n - id \|_{\infty} \leq 3 \delta < 1.$$

Pero si dos mapas de $\mathbb{S}_1$ a sí mismo son a (supremum) distancia estrictamente menor que $1$, entonces tienen el mismo índice. Por lo tanto, $f_n\circ g_n$ índice de uno, y por lo tanto no es contráctiles.

Si $(g_{n, t})_{t \in [0,1]}$ fueron una contracción de $g_n$ a un punto en $X_n$, $(f_n \circ g_{n, t})_{t \in [0,1]}$ sería una contracción de $f_n \circ g_n$ a un punto en $\mathbb{S}_1$, lo que contradice la no trivialidad de la loop $f_n\circ g_n$.