Aquí es una prueba del teorema de convergencia dominada.
Teorema. Supongamos que $f_n$ son medibles con un valor real de las funciones y $f_n(x) \to f(x)$ por cada $x$. Supongamos que existe un positivo función integrable $g$ tal que $|f_n(x)| \le g(x)$ todos los $x$. A continuación,$$\lim_{n \to \infty} \int f_n\,d\mu = \int f\,d\mu.$$
Prueba. Desde $f_n + g \ge 0$, por Fatou del lema,$$\int f + \int g = \int (f + g) \le \liminf_{n \to \infty} \int (f_n + g) = \liminf_{n \to \infty} \int f_n + \int g.$$Since $g$ is integrable,$$\int f \le \liminf_{n \to \infty} \int f_n.\tag*{$(*)$}$$Similarly, $g - f_n \ge 0$, so$$\int g - \int f = \int (g - f) \le \liminf_{n \to \infty} \int (g - f_n) = \int g + \liminf_{n \to \infty} \int (-f_n),$$and hence$$-\int f \le \liminf_{n \to \infty} \int (-f_n) = -\limsup_{n \to \infty} \int f_n.$$Therefore$$\int f \ge \limsup_{n \to \infty} \int f_n,$$which with $(*)$ proves the theorem.$$\tag*{$\plaza de$}$$
Mi pregunta es la siguiente. Podemos obtener otra prueba del teorema de convergencia dominada por la aplicación de Fatou del lema a $2g - |f_n - f|$?
