A y B son las intersecciones del eje x y eje mayor de la elipse, M es un punto de la elipse.
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Brian Deacon
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Con un ligero cambio de nombre de los elementos, considere la posibilidad de un punto de $M$ sobre una elipse con vértices $P$$Q$, el radio mayor $a$, y el radio menor $b$. Deje $N$ ser el pie de la perpendicular de $M$ al eje principal, y definir $p := |\overline{PN}|$, $q:=|\overline{QN}|$, $m := |\overline{MN}|$. También, $\theta = \angle MPQ$$\phi := \angle MQP$.
Podemos considerar esta una elipse como el resultado de un círculo de radio $a$ haber sido sometido a una "vertical" escala de transformación de factor de $b/a$; por el contrario, se puede recuperar el círculo por la ampliación de la elipse, en la dirección perpendicular a su eje mayor, por factor $a/b$. Deje $M^\prime$ ser la imagen de $M$ sobre el círculo, de modo que $m^\prime := |\overline{M^\prime N}| = m a/b$. Observe que, debido a $\triangle PM^\prime Q$ tiene un ángulo recto en $M^\prime$, $m^\prime$ es la media geométrica de $p$$q$. Por lo tanto,
$$(m^\prime)^2 = p q = \frac{m}{\tan\theta} \frac{m}{\tan\phi} \qquad\to\qquad \tan\theta\tan\phi = \left(\frac{m}{m^\prime}\right)^2 = \frac{b^2}{a^2} \tag{1}$$
Pero, entonces, con $\tan= \sin/\cos$, podemos escribir $$\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2} = \frac{\cos\theta\cos\phi - \sin\theta\sin\phi}{\cos\theta\cos\phi + \sin\theta\sin\phi} = \frac{\cos(\theta+\phi)}{\cos(\theta-\phi)} \tag{2}$$ Desde el lado de la mano izquierda de $(2)$ es constante, los elementos de relación en el lado derecho debe ser al mismo tiempo maximiza. Para $\cos(\theta-\phi)$, la maximización claramente sucede cuando $\theta = \phi$. Ahora, para los rangos de ángulo en efecto, la maximización de un coseno es equivalente a la minimización de su argumento. Tenemos, entonces, que el $\theta+\phi$ es el más pequeño,- - - y el objetivo de ángulo $\angle PMQ$ ($=180^\circ-\theta-\phi$) es más grande--- al $\triangle PMQ$ es isósceles; es decir, cuando $M$ es un extremo de la elipse de eje menor. $\square$
Hari Shankar
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El lugar geométrico de los puntos tales que $\angle AMB = \theta $ es el arco de un círculo que pasa a través de $A,B$
Considerar a la familia de círculos que pasa a través de $A,B$. Para el auxiliar círculo' es decir, el círculo con $A,B$ como el diámetro, en cualquier punto de este círculo forman un ángulo recto en la circunferencia. Este círculo sólo ha $A,B$ de los puntos en la circunferencia, y el centro está en el eje de la elipse.
Ahora, como el centro del círculo que pasa a través de $A,B$ disminuye , hay dos puntos de intersección de la elipse, y el ángulo de $AMB$ aumenta. Por este proceso $AMB$ alcanza un máximo cuando el círculo a través de $A,B$ es tangente en el extremo del eje menor, que es el resultado deseado
Aakash Ramesh
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1
Usa la regla del coseno y algunos hechos
Podemos usar el hecho de que$AM+BM=2a$ para todos$M$ en la elipse. Luego escribe el ángulo AMB en términos de AM, BM y 2a usando la regla de coseno$(2a)^2 = (AM)^2+(BM)^2-2(AM)(BM)\cos(AMB)$
Luego calcule$\frac {d(AMB)}{dx}$ e iguale a cero si$AM=x$ y$BM=2a-x$
Editar 1: mi respuesta fue incorrecta ... Sería correcto si$A$ y$B$ son focii de la elipse
Deje $N$ ser el punto donde la línea de $AM$ se reúne de nuevo el círculo de diámetro $AB$. Tenemos $\angle AMB=90°+\theta$ donde $\theta=\angle NBM$, lo $\angle AMB$ es el máximo de si $\theta$ es máxima.
Pero $\theta=90°-\alpha-\beta$ (ver diagrama a continuación) y si $(x,y)$ son las coordenadas de $M$ tenemos: $$ \tan\alpha={y\más de un+x},\quad \tan\beta={y\a-x},\quad \tan\theta={1\over\tan(\alpha+\beta)}= {1-\tan\alpha\tan\beta\\tan\alpha+\tan\beta} ={a^2-x^2-y^2\sobre 2ay}, $$ donde $a=AB/2$ es el semi-eje mayor de la elipse.
Pero $x$ $y$ están conectados por la elipse de ecuación de $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ donde $b$ es el semi-eje menor. Sustituyendo $x^2$ formulario de esta ecuación en la fórmula anterior, finalmente se obtiene: $$ \tan\theta={a^2/b^2-1\más de 2a}y. $$ Como $0°\le\theta<90°$, $\theta$ alcanza su valor máximo cuando $\tan\theta$, que es al $y$ tiene su valor máximo $b$.
