Probabilidad de tener sólo 2 palos representados en una mano de 5 cartas.

Question

Sé que el denominador será (52 c 5) para representar el número total de manos de 5 cartas con 52 cartas. Tengo problemas con el numerador. Empecé con (4 c 2) para el número total de combinaciones de 2 palos del 4. Luego lo multipliqué por 16 (el número de formas de disponer 2 palos en 5 ranuras, que sería 2 x 2 x 2 x 2 x 1). ¿Estoy en el camino correcto hasta ahora? Sé que voy a tener que multiplicar esto por las probabilidades de sacar esos palos, como 13/52 y tal, pero no estoy seguro de cómo hacerlo correctamente.

Answer 1

Mi pensamiento...(con la suposición de que ambos trajes deben estar representados)

Comienza con su sugerencia de utilizar $4\choose2$ para conseguir los dos trajes. Entonces, a partir de los dos trajes, hay $26\choose5$ formas de hacer una mano. Luego, reste el $13\choose5$ manos que son sólo el primer palo y $13\choose5$ manos que son sólo el segundo palo. Lo que equivale al método de suma de David.

$${4\choose2}({26\choose5}-2{13\choose5})$$

Answer 2

Nuestro Espacio de Muestras es $\binom{52}{5}$ Ahora, ¿cómo creamos una mano de cartas con sólo 2 palos? El primer paso sería elegir dos palos, $\binom{4}{2}$ formas de hacerlo. Ahora, descartamos todas las cartas que no son de ese palo (1 forma de hacerlo). Nos quedamos con 26 cartas, 13 de cada palo. Ahora podemos dividirlo en casos.

Caso I: Tenemos 1 carta del palo 1 y 4 del palo 2

$\binom{4}{2}*\binom{13}{1}*\binom{13}{4}$ formas de hacer ese tipo de mano

Caso II: Tenemos 2 cartas del palo 1 y 3 del palo 2

$\binom{4}{2}*\binom{13}{2}*\binom{13}{3}$ formas de hacer ese tipo de mano

Caso III: Tenemos 3 cartas del palo 1 y 2 del palo 2

$\binom{4}{2}*\binom{13}{3}*\binom{13}{2}$ formas de hacer ese tipo de mano

Caso IV: Tenemos 4 cartas del palo 1 y 1 carta del palo 2

$\binom{4}{2}*\binom{13}{4}*\binom{13}{1}$ formas de hacer ese tipo de mano

Si sumamos todos esos casos, tenemos todas las manos posibles que están representadas por 2 palos exactamente. Dividamos esto por $\binom{52}{5}$ y tendrás tu respuesta, OP.

Answer 3

Voy a proponer una solución que me parece más sencilla. Hay una probabilidad de 1 entre 4 de que dos cartas sean iguales y una probabilidad de 3 entre 4 de que sean diferentes. Si son diferentes, entonces por cada carta que se añade hay una probabilidad de 2 entre 4 de que sea del mismo palo que una de las dos primeras cartas ( $0.75\cdot0.5\cdot0.5\cdot0.5=0.09375$ ). Si las dos primeras cartas son iguales, se puede repetir el primer paso. Esto conduce a varias probabilidades, y entonces la respuesta es simplemente la unión de esas probabilidades. $$0.75\cdot0.5\cdot0.5\cdot0.5\cup0.25\cdot0.75\cdot0.5\cdot0.5\cup0.25\cdot0.25\cdot0.75\cdot0.5\cup0.25\cdot0.25\cdot0.25\cdot0.75\cup0.25\cdot0.25\cdot0.25\cdot0.25=0.1796875=\frac{23}{128}$$

(Si no quieres incluir el caso en el que todas las cartas son de un solo palo, simplemente corta la última parte)