¿Por qué no existe este límite?

Question

Trabajando a través de algunos ejercicios de límite. La hoja de respuestas dice que el siguiente límite no existe. Es esto correcto. ¿No debería ser $-\infty$? $$\lim_{x \to 0^+} \left( \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} - \frac{1}{x} \right)\ \ \ $$

Answer 1

Es cierto que como $x$ enfoques a través de valores positivos, $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}-\frac{1}{x}$ se convierte en negativo. Sin embargo, algunas personas no permitir $\infty$ o $-\infty$ como respuestas a un problema de límite. Como un simple ejemplo, algunos podrían decir que $\lim_{x\to\infty}x^2$ no existe, y algunos dirían $\lim_{x\to\infty} x^2=\infty$.

Comentario: Matemáticas, el inglés ha dialectos. Al responder a una pregunta, puede ser necesario para cumplir con el dialecto local. (En una prueba, yo aceptaría cualquiera de respuesta si la justificación se da, pero no puede garantizar de que alguien más lo haría.)

Answer 2

$$\lim{x \to 0^+} \left( \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} - \frac{1}{x} \right)=\lim{x\to 0^+}\frac{x-\sqrt{x^2+1}}{x\sqrt{x^2+1}}=$$

$$=-\lim{x\to 0^+}\frac1{x\sqrt{x^2+1}(x+\sqrt{x^2+1})}=\lim{x\to 0^+}-\frac1{x^2\sqrt{x^2+1}+x^3+x}=-\infty$$

así que tienes razón... a menos que el libro significaba "no existe finito" , dicen.

Answer 3

Eso es correcto. Desde $-\infty$ no es un número real, el límite no existe.