Una pregunta sobre el número de intersección

Question

Estoy tratando de comprender el sentido geométrico de (simétrica) formas bilineales.

Estoy leyendo partes de "Formas Bilineales Simétricas", en particular, el apéndice menciona lo que me interesa: en la página 100 de escribir

"Vamos a $M = M^{2n}$ ser un colector cerrado de dimensión $2n$, y deje $F_2$ a ser el campo con dos elementos. Si $x,y$ de homología de clases en $H_n(M, F_2)$, la intersección de número de $$ x \cdot y = y \cdot x \in F_2$$ está definido. La dualidad de Poincaré teorema, ver por ejemplo [Spanier], implica que $H_n(M,F_2)$ es un producto interior espacio de más de $F_2$ mediante la intersección número como el producto interior."

1. ¿Qué es exactamente la intersección número? Por ejemplo: no sé qué pensar sobre los $n>1$ pero creo que si $n=1$ pensamos de los elementos en $H_1$ como clases de equivalencia de las rutas, es decir, dos caminos son equivalentes si difieren por un límite que significa que $p_1 - p_2 = \partial U$ donde $U \subset M$ es un submanifold (este es el término correcto?) de $M$. Si $M$ es, por ejemplo, el toro, vemos que cualquiera de los dos círculos que forman el perímetro de un cilindro, por lo tanto son equivalentes. Del mismo modo, cualquiera de los dos ciclos en torno al centro del agujero de forma que el límite de un anillo, por lo tanto son equivalentes. De ahí que el primer grupo de homología es generado por dos elementos y por lo tanto tenemos $H_1(T) = \mathbb Z \oplus \mathbb Z$. Ahora supongamos que elegir dos arbitraria representantes de $x,y$ de cada clase de equivalencia. Ahora no sé cuál es la definición actual de la intersección de número, pero suponiendo que esto signifique que el número de puntos de intersección, es correcto que $x \cdot y = 1$ en el ejemplo del toro? ¿Y qué acerca de una esfera? A continuación, debería ser $x \cdot y = 0$ porque no tenemos ningún agujero. Puede usted por favor me dan una definición rigurosa de intersección número?

2. De dónde viene la dualidad de Poincaré venir aquí? Como yo sé que él nos dice que $H^k (M^n) = H_{n-k}(M^n)$. Yo no a ver donde lo necesitamos para calcular la intersección de los números.

Gracias por su ayuda.

Answer 1

El papel de la dualidad de Poincaré es que proporciona una forma de definir la intersección de emparejamiento:

Como countinghaus notas, para un $n$-dimensiones cerrado conectado el colector, la intersección de emparejamiento (con el mod $2$ coeficientes) es un emparejamiento $H_{n-i} \times H_{n-j} \to H_{n - i - j}.$ Una forma de definir es geométricamente, como en countinghaus la respuesta, eligiendo el buen comportamiento de los representantes de los ciclos, moviéndolos dentro de sus respectivas clases de homología para ser transversal y, a continuación, en intersección con ellos para obtener un nuevo ciclo. (Debido a que estamos trabajando mod $2$, orientaciones no importa).

Para demostrar que este proceso está bien definido, y que se derivan de sus propiedades básicas (por ejemplo, que es bilineal) toma un poco de esfuerzo, y así muchos autores prefieren poner ese esfuerzo en otros lugares, por ejemplo, a afirmar y demostrar la dualidad de Poincaré. Una vez que usted tiene la dualidad de Poincaré, puede hacer lo siguiente:

La copa del producto le da un mapa de $H^i \times H^j \to H^{i+j}$. La dualidad de poincaré (con el mod $2$ coeficientes) identifica a $H^i$$H_{n-i}$. Por lo tanto podemos reescribir esto como $H_i \times H_{n-i} \to H_{n - i - j}.$ resulta que esta es la intersección de emparejamiento se describe geométricamente por encima. (Para ver por qué, mira esta respuesta --- se trata del caso de $\mathbb Q$-coeficientes en lugar de $\mathbb F_2$-coeficientes, pero la idea es la misma.)