¿Pueden algunos grupos finitos estar bien ordenados de una manera "significativa"? Quiero decir, está claro que podemos encontrar trivialmente un bijection entre$\{1,...,n\}$ y un grupo finito$G$ con$n$ elementos, pero estoy interesado en ordenar bien que se basan en algún esquema o patrón con respecto a alguna propiedad del grupo (por ejemplo, es inmediato ordenar bien un grupo cíclico).
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DavidA
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Si usted está preparado para representar al grupo como una permutación de grupo en $\{1,...,n\}$, el estabilizador de la cadena producido por el Schreier-Sims algoritmo conduce a una bastante orden natural (aunque, por supuesto, la permutación de la representación en sí misma no es canónico).
Es decir, dada $\Delta\subseteq \{1,...,n\}$, vamos a $G_{\Delta}$ ser el pointwise estabilizador de $\Delta$$G$. Entonces no es un estabilizador de la cadena:
$G = G_{\{\}} \supseteq G_{\{1\}} \supseteq G_{\{1,2\}} \supseteq ... \supseteq G_{\{1,...,n-1\}} \supseteq G_{\{1,...,n\}} = 1$.
Dado que algunos de enlace $G_{\{1,...,i\}} \supseteq G_{\{1,...,i+1\}}$ en la cadena, los cosets de $G_{\{1,...,i+1\}}$ $G_{\{1,...,i\}}$ puede ser ordenado por su acción sobre la i. Esto se extiende a un orden en el conjunto del grupo.
Por ejemplo, $S_{3}$ sería ordenado como: 1, (23), (12), (123), (13), (132).
En primer lugar, los elementos que enviar de 1 a 1, luego los elementos que enviar de 1 a 2, por último, los elementos que enviar de 1 a 3. Así que estos son los tres cosets de $G_{\{1\}}$. A continuación, dentro de la coset $(13)G_{\{1\}}$ (por ejemplo), a fin de que de forma recursiva utilizando el mismo fin de la relación.
dtldarek
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23441
El comentario fue demasiado corto, así que voy a postear esto como una respuesta.
Orden bien implica una estructura lineal, así que no veo ningún sentido órdenes para grupos cíclicos (ver grafos de Cayley). Por ejemplo, usted podría tener un grupo en el que hay dos (o incluso más) de los diferentes elementos que se comportan de la misma manera, por ejemplo,$(0,1)$$(1,0)$$\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$, o generadores de la no-cíclico de grupo libre.
Tenga en cuenta, que este también es el caso también para grupos cíclicos, por ejemplo, si $a$ es el generador, entonces es$a^{-1}$. En cierto modo, son simétricas, y cualquier orden de destruir.
Por otro lado, creo que hay muchos bien fundada parcial de las órdenes que se puede aplicar aquí, y si usted lo desea, usted puede convertirlos en total (por algo como topológica de la clasificación). Por otra parte, esto sería realmente se corresponden con el hecho de que usted elija un elemento sobre el otro (y por lo tanto destruir la simetría).
Espero que esto te ayuda ;-)
user8269
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Un grupo finito tiene un número finito de generadores, que usted puede nombrar a $a,b,c,\dots$ (o $a_1,a_2,\dots,a_r$ algunos $r$). A continuación, puede escribir cada elemento del grupo como una palabra en los generadores; entre las muchas expresiones para cualquier elemento del grupo, considere sólo aquellos de longitud mínima, y entre ellas, elegir la que es lexicográficamente primera. A continuación, el fin de la $n$, resultando expresiones lexicográficamente.
Un montón de opciones para hacer a lo largo del camino, así que no hay nada canónica de aquí, pero eso no parece molestar a usted para cíclico de los grupos, por lo que tal vez lo aceptan aquí, también.
lhf
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DanV
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La forma más significativa para el buen fin de un grupo finito sería de tal manera que la adición es congruente con el orden. Sin embargo no finito grupo puede ser ordenado, ya que $$1<a<a^2<a^3<\ldots<a^{\mathrm{ord}(a)}=1$$
Lo anterior demuestra que usted no puede tomar una orden en el que se respeta el grupo de operación en un grupo finito. A la pregunta "exótico" uno tiene que pensar, y tenga en cuenta que cada conjunto finito se puede administrar de varias (posiblemente interesante) diferentes estructuras de grupo. De hecho, si tengo un conjunto $\{a,b,c\}$, entonces hay varias maneras en que puede ser hecho en $\mathbb Z/3\mathbb Z$.
No tenemos una forma canónica de la elección de una estructura de grupo en un conjunto. Una vez allí son muy arbitrarias decisiones que no hay forma real de generar interesantes bien las órdenes. Si usted está de acuerdo que una forma canónica sería tomar un grupo de un determinado grupo cíclico, a continuación, usted todavía tiene que preguntarse cuál de los dos elementos del conjunto de se $1$.
Una vez que se acordó que el elemento es$1$, entonces hay una manera razonable de la elección de una enumeración del grupo, es decir,$n\cdot 1$. Sin embargo, esto todavía es muy arbitrario.
