Arreglo de enteros positivos $a,b,c$ tal que $\mathrm{gcd}(a,b,c)=1$. ¿Es cierto que si $n$ es suficientemente grande entonces existen enteros positivos $x,y,z$ tal que $$ ax + by + cz = n\, \, \, \text {y} \,\,\,x+y+z \equiv 1\bmod {3} \, \,? $$
Respuestas
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Lo siento si mi pregunta, pero no creo que esta pregunta tiene una respuesta negativa.
Countexample: Fijar $(a,b,c)=(1,4,4)$. Entonces, para cada entero positivo $x,y,z$ tal que $x+4y+4z=n$, tenemos $$ x + y + z \equiv x +4y +4z \equiv n\bmod {3}. $$ Por lo tanto, es imposible satisfacer las limitaciones de ambos cuando $n$ es suficientemente grande.
rtybase
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De acuerdo a Bezout Lema, $\exists x_0,y_0,z_0 \in \mathbb{Z}$ tal que $$ax_0+by_0+cz_0=\gcd(a,b,c)=1 \tag{1}$$ Ahora
- Si $3 \nmid (x_0+y_0+z_0)$ a continuación, desde la FLT $$(x_0+y_0+z_0)^2 \equiv 1 \pmod{3}$$ y $$\color{red}{x=}x_0(x_0+y_0+z_0)+3^k$$ $$\color{red}{y=}y_0(x_0+y_0+z_0)+3^k$$ $$\color{red}{z=}z_0(x_0+y_0+z_0)+3^k$$ $$\color{red}{n=}x_0+y_0+z_0+a3^k+b3^k+c3^k$$ Efectivamente, se multiplica $(1)$ $x_0+y_0+z_0$ y, a continuación, la adición de $a3^k+b3^k+c3^k$ a LHS y RHS. Entonces $$x+y+z\equiv x_0(x_0+y_0+z_0)+3^k + y_0(x_0+y_0+z_0)+3^k+z_0(x_0+y_0+z_0)+3^k\equiv \\ x_0(x_0+y_0+z_0) + y_0(x_0+y_0+z_0)+z_0(x_0+y_0+z_0) \equiv (x_0+y_0+z_0)^2 \equiv 1 \pmod{3}$$
- Si $3 \mid (x_0+y_0+z_0)$ o $$x_0+y_0+z_0 \equiv 0 \pmod{3} \tag{2}$$ $$\color{red}{x=}x_0+1+3^k$$ $$\color{red}{y=}y_0+3^k$$ $$\color{red}{z=}z_0+3^k$$ $$\color{red}{n=}1+a+a3^k+b3^k+c3^k$$ Efectivamente, añadimos $a+a3^k+b3^k+c3^k$ (por ejemplo) a la LHS y RHS de $(1)$ e de $(2)$ $$x+y+z \equiv x_0+1+3^k+y_0+3^k+z_0+3^k \equiv x_0+1+y_0+z_0 \equiv 1 \pmod{3}$$
Eligiendo lo suficientemente grande como $k$, en ambos casos, se puede hacer de $x,y,z$ positivo.
Actualización esto demuestra que la afirmación es verdadera para algunos lo suficientemente grande $n$, pero no todos.
