$f:\mathbb R^n\to \mathbb R^m $De que % es clase $C^1$
También limita $f^{-1}(B)$ siempre que limita $B$
y son linealmente independientes para cada $\nabla f_i(x)$ $x$.
Entonces $f$ es a.
¿Por qué? No tengo ni idea de explicar esto.
Respuesta
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math_man
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Primera nota de que por hipótesis $f$ es un subersion, ya que la matriz jacobiana \begin{equation} J_f=\left[ \begin{array}{c} \nabla f_1 \\ .\\ .\\ .\\ \nabla f_n \end{array} \right] \end{equation} tiene el máximo rango en cada punto, por las subersion teorema esta es una carta abierta. Si llegamos a la conclusión de que es también un cerrado mapa a continuación, es sobre, por conexión. Desde $\{y_1,...,y_n,...\}$ es acotado, tenemos $f^{-1}(\{y_1,...,y_n,...\})$ está acotada. A continuación, $\{x_1,...,x_n,...\}$ es acotado, así que por Bolzano-Weierstrass teorema no es convergente larga, $(x_{n_j})_{j\geq1}$ que converge a un punto de $x_0$, ya que el $f$ es continua, $lim f(x_{n_j})=f(x_0)$ por unicidad del límite que hemos $f(x_0)=y$ $f(\mathbb{R}^n)$ es cerrado, ya que es un conjunto no vacío y $\mathbb{R}^m$ está conectado, tenemos que $f$ es sobre.
