Matrices no conmutativas y nilpotencia

Question

¿Es posible encontrar $n\times n$matrices $M,N$ tal que $(MN)^n=0$ $(NM)^n\ne 0$?

Puedo ver que $(MN)^n=0\implies (NM)^{n+1}= 0$ por asociatividad. Pero no veo que sea necesariamente cierto $(NM)^n$.

También puedo ver que $MN=0\not\implies NM=0$ pero no podemos encontrar un ejemplo $(MN)^n=0$ $(NM)^n\ne 0$.

Answer 1

No. Como resulta, $MN$ $NM$ debe tener el mismo valor distinto de cero autovalores (aunque las multiplicidades necesidad de no estar de acuerdo), así que si $(MN)^n = 0$ $MN$ sólo tiene autovalores cero, por lo que el mismo debe ser cierto de $NM$, que por lo tanto debe tener polinomio característico $t^n$.

Una elegante prueba utiliza el siguiente lema: en cualquier anillo, $1 - xy$ es invertible si y sólo si $1 - yx$ es invertible. Ahora uso el hecho de que $\lambda$ es un valor distinto de cero autovalor de a $MN$ si y sólo si $1 - \frac{MN}{\lambda}$ no es invertible.

Otra prueba de ingresos de la siguiente manera: vamos a $M, N$ tienen entradas $m_{ij}, n_{ij}$ cuales son variables formales en un polinomio anillo de $R = \mathbb{Z}[m_{ij}, n_{ij}]$. Observar que $$\det(Nt - NMN) = \det(N) \det(t - MN) = \det(t - NM) \det(N).$$

Desde $R$ es una parte integral de dominio, llegamos a la conclusión de que $$\det(t - MN) = \det(t - NM)$$

como polinomios en $R$. Así en el hecho de $MN$ $NM$ debe tener el mismo polinomio característico. (Tenga en cuenta, sin embargo, que la primera prueba es mucho más general, entre otras cosas, sigue siendo válido en un número infinito de dimensiones.)

Answer 2

Usted puede combinar su observación que $(MN)^n=0\implies (NM)^{n+1}=0$ con el resultado de esta otra pregunta, mostrando que $(NM)^{n+1}=0\implies (NM)^n=0$.

Answer 3

He aquí otra prueba de que el hecho de que funciona en cualquier campo de $F$ de los característicos $0$, en el siguiente lema se aplica:

Lema. Deje $u$ ser un endomorfismo de un finito dimensionales $F$-espacio vectorial $V$. A continuación, $u$ es nilpotent iff para todos $k=1,\dots,n=\dim V$, $\mathrm{Tr}(u^k)=0$.

Supongamos $M,N$ $n\times n$ matrices con coeficientes en un campo de característica $0$ tales que su producto es nilpotent, es decir,$(MN)^n=0$. Para cualquier $k\geq 1$ $$0=\mathrm{Tr}((MN)^k)=\mathrm{Tr}((MN)^{k-1}MN)=\mathrm{Tr}(N(MN)^{k-1}M)=\mathrm{Tr}((NM)^k)$$ El lema implica entonces que $NM$ es nilpotent aswell.