Subespacio convexo localmente

Question

Mientras que el estudio de análisis funcional a la siguiente pregunta.

Deje $(E, P)$ ser localmente convexo de un espacio donde $P$ es una familia de seminorms. También, vamos a $F \subseteq E$ ser un subespacio lineal dotado de la familia de seminorms $P_F := \{p_{\vert F} \; : \; p \in P\}$. Demostrar que un subconjunto $V \subseteq F$ es abierta con respecto a $P_F$ si y sólo si $V = U \cap F$ donde $U \subseteq E$ $U$ es abierta con respecto a $P$.

Lo que he probado hasta ahora es la siguiente.

En primer lugar, desde $F$ es un subespacio lineal sabemos que $0 \in F$ $E$ es localmente convexo, la intersección de conjuntos convexos es convexa, lo que hace que $(F, P_F)$ localmente convexo de un espacio, es decir, hay un equilibrio de absorción convexa de base local en cero. También, $V$ ser abierto con respecto a la familia de seminorms en el espacio $(F,P_F)$ es decir que

$$\forall x \in V, \ \exists \ \epsilon_x > 0, p_1^x, \ldots, p_{n_x}^x \in P_F \ : V(x, p_1^x, \ldots, p_{n_x}^x, \epsilon_x) = \bigcap_{i=1}^{n_x} \{y \in F : p_i^x(x - y) < \epsilon\} \subseteq V$$

Para el "$\Rightarrow$" dirección ahora tengo que de alguna manera muestran que, con base en esta noción de $V$ está abierto, se puede inferir que existe otro conjunto $U \subseteq E$ que es abierto a toda la seminorm de la familia y para el que se sostiene que $V = U \cap F$. Pero, ¿por qué es este el caso?

El otro "$\Leftarrow$" dirección parece ser más clara. Desde $U$ está abierto a toda la familia de seminorms, podemos restringir a aquellos conjuntos que se abra a $P_F$ por la intersección de con $F$. Pero esto parece heurístico, en el mejor, ¿cómo se podía utilizar las nociones locales de la convexidad y apertura respecto a un seminorm sistema correctamente para escribirla?

Answer 1

Suponga $V$ está abierto en $(F,P_F)$. Así que para todos los $x\in V$ hay $\epsilon_x > 0$ $p_1^x,\ldots,p_{n_x}^x\in P_F$ tal que $V(x,p_1^x,\ldots,p_{n_x}^x,\epsilon_x)\subseteq V$. Para cada una de las $x\in V,$ elija $q_1^x,\ldots,q_{n_x}^x \in P$ tal que $p^x_i={q_{i}^x}_{|F}$

Ahora defina $$U=\bigcup_{x\in V}\bigcap_{i=1}^{n_x}\{y\in E \mid q_i^x(x-y) < \epsilon\}.$$ Tenga en cuenta que para cualquier $x\in V$ $i=1,\ldots n_x,$ el conjunto $U(x,\epsilon,q_i^x)=\{y\in E \mid q_i^x(x-y) < \epsilon\}$ está abierto en $(E,P)$. Porque si $y\in U(x,\epsilon,q_i^x)$ a continuación, vamos a $\delta=\epsilon - q_i^x(x-y) > 0$. Por el triángulo de la desigualdad de $q_i^x$, $U(y,\delta,q_i^x)\subseteq U(x,\epsilon,q_i^x)$ y, por tanto, $U(x,\epsilon,q_i^x)$ está abierto en $(E,P)$. Desde $U$ es arbitrario de la unión de la intersección finita de este conjunto, $U$ está abierto en $(E,P)$. Ahora \begin{align} U\cap F & = \bigcup_{x\in V}\bigcap_{i=1}^{n_x}(U(x,\epsilon,q_i^x)\cap F)\\\\ & = \bigcup_{x\in V}\bigcap_{i=1}^{n_x}\{y\in F \mid p_i^x(x-y) < \epsilon\}\\\\ & = \bigcup_{x\in V}V(x,p_1^x,\ldots,p_{n_x}^x,\epsilon) = V \end{align}

$U$ no necesitan ser únicos. Porque para un determinado semi-norma $p\in P_F$, pueden existir varios semi-norma en $P$ cuya restricción en $F$$p$. Así, en la definición de $U$, usted puede reemplazar $q_i^x$ con otro semi-norma dice $r_i^x \in P$ tal que ${r_{i}^x}_{|F} = p_i^x$ pero $r_i^x\neq q_i^x$ fuera de $F$.

En el otro sentido, su razonamiento es correcto. Tratar de formalizar matemáticamente.